Question

Дифференциальные вычисления.......

Answer 1

1)

$(x+2y)y'+y=0\Leftrightarrow 2(x+2y)y'+2y+x=x\Leftrightarrow (x+2y)(2y'+1)=x\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 2(x+2y)(1+2y')=2x$

Т.к. $\left[\left((x+2y)^2\right)'=2(x+2y)(1+2y'); \left(x^2\right)'=2x\right]$ , то уравнение равносильно

$(x+2y)^2=x^2+C_1\Leftrightarrow 4xy+4y^2=C_1\Leftrightarrow \boxed{xy+y^2=C}$

2) $y'=\dfrac{y}{x}-2x^2\Leftrightarrow \dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}=-2x$

$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$, а значит в левой части уравнения стоит не что иное, как производная произведения: $\left(y\cdot \dfrac{1}{x}\right)'=y'\cdot \dfrac{1}{x}+y\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}$. Тогда уравнение равносильно

$y\cdot \dfrac{1}{x}=-x^2+C\Leftrightarrow \boxed{y=Cx-x^2}$

3) $y(4xy^2-3)+2xy'=0\Leftrightarrow y'-\dfrac{3y}{2x}=-2y^3$ - т.е. это уравнение Бернулли.

Замена $y(x)=u(x)v(x)$:

$u'v+uv'-\dfrac{3uv}{2x}=-2u^3v^3$

Подбираем ненулевое $v$ так, чтобы $v'-\dfrac{3v}{2x}=0\Rightarrow \dfrac{dv}{v}=\dfrac{3dx}{2x}\Rightarrow \ln v=\dfrac{3}{2}\ln x+C_0\Rightarrow v=C_1 x^{3/2}$ . Возьмем, например, $v=x^{3/2}$. Для определения $u$ остается уравнение

$u'v=-2u^3v^3\Rightarrow -\dfrac{2du}{u^3}=4x^3 dx\Leftrightarrow \dfrac{1}{u^2}=x^4+C\Rightarrow u=\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^4+C}}$

Также при делении на $u$ могли потерять особое решение $u=0\Rightarrow y=0$. Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что $y=0$ - решение.

Окончательно, $\boxed{y=\pm\dfrac{x^{3/2}}{\sqrt{x^4+C}};y=0}$