Question

Xn=3n/n+1
Найти:
1)Член x1; x4;x9;x99;x999.
2)Определить вырастает или убывает последовательность.
3) Определить ограниченность.

Answer 1

Ответ:

1) x₁ = 1,5; x₄ = 2,4; x₉ = 2,7; x₉₉ = 2,97; x₉₉₉ = 2,997;

2) строго возрастает;

3) ограничена.

Пошаговое объяснение:

1) $x_1=\dfrac{3\cdot 1}{1+1}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\\x_4=\dfrac{3\cdot 4}{4+1}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\\x_9=\dfrac{3\cdot 9}{9+1}=\dfrac{27}{10}=2{,}7\\x_{99}=\dfrac{3\cdot 99}{99+1}=\dfrac{297}{100}=2{,}97\\x_{999}=\dfrac{3\cdot 999}{999+1}=\dfrac{2997}{1000}=2{,}997$

2) Оценим разность $x_{n+1}-x_n$:

$x_{n+1}-x_n=\dfrac{3(n+1)}{n+2}-\dfrac{3n}{n+1}=\dfrac{3(n+1)^2-3n(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\\=\dfrac{3n^2+6n+3-3n^2-6n}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{3}{(n+2)(n+1)}$

Поскольку n ≥ 1 (как натуральное число), n + 2 > 0, n + 1 > 0. Тогда $\dfrac{3}{(n+2)(n+1)}>0\Leftrightarrow x_{n+1}-x_n>0\Leftrightarrow x_{n+1}>x_n$ — каждый следующий член строго больше предыдущего, значит, последовательность строго возрастает.

3) Поскольку последовательность строго возрастает, она ограничена снизу первым членом. Проверим ограниченность сверху:

$x_n=\dfrac{3n}{n+1}=\dfrac{3n+3-3}{n+1}=\dfrac{3(n+1)}{n+1}-\dfrac{3}{n+1}=3-\dfrac{3}{n+1}<3-0=3$

Последовательность ограничена сверху. Поскольку она ограничена и сверху, и снизу, то она ограниченная.