Question

система x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0 и 2x^2-y^2+xy-3y-5=0

Answer 1

$\sf \displaystyle \left \{ {{x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0} \atop {2x^2-y^2+xy-3y-5=0}} \right.$

· Первое уравнение системы можно разложить на множители:

$\sf \displaystyle x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0 \\ (x^2+xy+x)-2y^2-2xy+x-y+1=0 \\ x(x+y+1)-(2y^2+2xy+2y)+x+y+1=0 \\ x(x+y+1)-2y(x+y+1)+(x+y+1)=0 \\ (x-2y+1)(x+y+1)=0$

· Из полученного разложения выражаем x:

$\sf \displaystyle x=2y-1 \\ x=-y-1$

Этот же результат можно получить, решая это уравнение как квадратное, в котором переменная y играет роль параметра.

· Подставляем x во второе уравнение системы.

Первый случай:

$\sf \displaystyle 2(2y-1)^2-y^2+y(2y-1)-3y-5=0 \\ 3y^2-4y-1=0 \\ D=16+12=\left(2\sqrt7\right)^2 \\ y_1=\frac{4+2\sqrt{7}}{6}=\frac{2+\sqrt{7}}{3} \ \ \Rightarrow \ \ x_1=\frac{4+2\sqrt{7}}{3}-1=\frac{1+2\sqrt{7}}{3} \\ y_2=\frac{4-2\sqrt{7}}{6}=\frac{2-\sqrt{7}}{3} \ \ \Rightarrow \ \ x_2=\frac{4-2\sqrt{7}}{3}-1=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$

Второй Случай:

$\sf \displaystyle 2(-y-1)^2-y^2+y(-y-1)-3y-5=0 \\ -3=0 \\ x \in\varnothing$

Ответ:

$\sf \displaystyle (x_1, \ y_1)=\left(\frac{1+2\sqrt{7}}{3}, \ \frac{2+\sqrt{7}}{3}\right); \ \ (x_2, \ y_2)=\left(\frac{1-2\sqrt{7}}{3}, \ \frac{2-\sqrt{7}}{3}\right)$