Question

МНОГО БАЛЛОВ! x^(2)-3x+4-3/(x)+1/(x^(2))=0​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\x^{2} -3x+4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2} } =0\\\\\\\underbrace{\Big(x^{2} +\frac{1}{x^{2} } \Big)}_{(x+\frac{1}{x})^{2} -2} -\Big(3x+\frac{3}{x}\Big)+4=0\\\\\\\Big(x+\frac{1}{x} \Big)^{2}-2-3\Big(x+\frac{1}{x} \Big)+4=0\\\\\\x+\frac{1}{x}=m\\\\\\m^{2} -3m+2=0\\\\Teorema \ Vieta:\\\\m_{1} =1\\\\m_{2} =2\\\\1)\\x+\frac{1}{x} =1$

$\displaystyle\bf\\x+\frac{1}{x} -1=0\\\\\left \{ {{x^{2} -x+1=0} \atop {x\neq 0}} \right. \\\\x^{2} -x+1=0\\\\D=(-1)^{2} -4\cdot1=1-4=-3<0\\\\kornei \ net\\\\2)\\x+\frac{1}{x} =2\\\\x+\frac{1}{x} -2=0\\\\\left \{ {{x^{2} -2x+1=0} \atop {x\neq 0}} \right. \\\\x^{2} -2x+1=0\\\\(x-1)^{2} =0\\\\x-1=0\\\\x=1\\\\Otvet:1$

Answer 2

Формула, которая будет использоваться:

$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2} )$

Перейдём к решению уравнения.

${x}^{2} - 3x + 4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2} } = 0 \\ \\ \frac{x^{4} }{x^{2} } - \frac{3x^{3} }{x^{2}} + \frac{4x^{2} }{x^{2}} - \frac{3x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0 \\ \\ \frac{x^{4} - 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + 1 }{x^{2} } = 0$

Если дробь равна нулю, числитель дроби равен нулю, знаменатель - не равен нулю.

ОДЗ:

х²≠0

х≠0

Приравниваем числитель дроби к нулю:

$x^{4} - 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + 1 = 0 \\ \\ x^{4} -x^{3} - 2x^{3} + 2x^{2} + 2x^{2} - 2x - x+ 1 = 0 \\ \\ x^{3} (x - 1) - 2x^{2} (x - 1) + 2x(x - 1) - (x + 1) = 0 \\ \\ (x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1)(x - 1) = 0$

Если произведение равно нулю, один из множителей равен нулю.

$x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: x - 1= 0$

Найдём первый х, решив правое уравнение:

$x - 1 = 0 \\ x = 1$

Вернёмся к левому уравнению.

х³-1 = (х-1)(х²+х+1) по формуле, указанной вверху ответа.

$(x - 1)(x^{2} + x + 1) - 2x^{2} + 2x = 0 \\ \\ (x - 1)(x^{2} + x + 1) - 2x(x - 1) = 0 \\ \\ (x - 1)(x^{2} + x + 1 - 2x) = 0 \\ \\ x^{2} - x - 1 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x - 1 = 0$

Правое уравнение мы решели, поэтому можем его опустить и нам останется решить левое уравнение.

$x^{2} - x + 1 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ D = b^{2} - 4ac=( - 1)^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3$

Дискриминант не может быть меньше нуля, поэтому, учёв ОДЗ, имеем ответ:

х=1