Question

доказать неравенство за 97баллов​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\displaystyle\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2} } \geq \frac{x+y}{2} ~~~~~~~(x>0,y>0)$

обе части положительны, возведем в куб

$\displaystyle\frac{x^3+y^3}{2} \geq \frac{(x+y)^3}{8} \\\\4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3\\\\4(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+y)^3\geq 0\\\\(x+y)(4x^2-4xy+4y^2-x^2-2xy-y^2)\geq 0\\\\(x+y)(3x^2-6xy+3y^2)\geq 0\\\\3(x+y)(x^2-2xy+y^2)\geq 0\\\\3(x+y)(x-y)^2\geq 0$

данное неравенство верно:

второй множитель х+у больше нуля,

поскольку х>0,y>0

(x-y)²≥0  квадрат любой величины ≥0

исходное неравенство тоже верно

доказано