Question

помогите решить дифференциациальное уравнение 4.1​

Answer 1

--------- 4.1) ---------

$\sf \displaystyle \left \{ {{\dot{x}=y-7x} \atop {\dot{y}+2x+5y=0}} \right$

Выразим y из первого уравнения и продифференцируем:

$\sf \displaystyle y=\dot{x}+7x \\ \dot{y}=\ddot{x}+7\dot{x}$
Подставляем во второе уравнение:

$\sf \displaystyle \ddot{x}+7\dot{x}+2x+5\dot{x}+35x=0 \\ \ddot{x}+12\dot{x}+37x=0$

Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

$\sf \displaystyle \lambda^2+12\lambda+37=0 \\ D=144-148=-4=(2i)^2 \\ \lambda_{1,2}=\frac{-12\pm 2i}{2}=-6\pm i$

Тогда общее решение имеет вид:

$\sf \displaystyle x=C_1e^{-6t}cost+C_2e^{-6t}sin t$

Дифференцируем:

$\sf \displaystyle \dot{x}=-6C_1e^{-6t}cost-C_1e^{-6t}sint-6C_2e^{-6t}sint+C_2e^{-6t}cost$

Подставляем и находим y:

$\sf \displaystyle y=-6C_1e^{-6t}cost-C_1e^{-6t}sint-6C_2e^{-6t}sint+C_2e^{-6t}cost+C_1e^{-6t}cost+C_2e^{-6t}sin t= \\ =-5C_1e^{-6t}cost-C_1e^{-6t}sint-5C_2e^{-6t}sint+C_2e^{-6t}cost$

Ответ:

$\sf \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\sf x\\\sf y\\\end{array}\right)=C_1e^{-6t}\left(\begin{array}{ccc}\sf cost\\\sf -5cost-sint\\\end{array}\right)+C_2e^{-6t}\left(\begin{array}{ccc}\sf sint\\\sf -5sint+cost\\\end{array}\right)$

--------- 4.2) ---------

$\sf \displaystyle \left \{ {{\dot{x}=2x+y} \atop {\dot{y}+3x+4y=0}} \right.$

Эта система решается аналогично первой.

$\sf \displaystyle y=\dot{x}-2x \\ \dot{y}=\ddot{x}-2\dot{x} \\ \\ \ddot{x}-2\dot{x}+3x+4\dot{x}-8x=0 \\ \ddot{x}+2\dot{x}-5x=0 \\ \lambda^2+2\lambda-5=0 \\ D=4+20=24=\left(2\sqrt{6}\right)^2\\ \lambda_{1,2}=\frac{-2\pm2\sqrt{6}}{2}=-1\pm\sqrt{6} \\ x=C_1e^{(-1+\sqrt{6})t}+C_2e^{(-1-\sqrt{6})t}\\ \dot{x}=(-1+\sqrt{6})C_1e^{(-1+\sqrt{6})t}+(-1-\sqrt{6})C_2e^{(-1-\sqrt{6})t}$

$\sf \displaystyle y=(-1+\sqrt{6})C_1e^{(-1+\sqrt{6})t}+(-1-\sqrt{6})C_2e^{(-1-\sqrt{6})t} -2C_1e^{(-1+\sqrt{6})t}-2C_2e^{(-1-\sqrt{6})t}= \\ =(-3+\sqrt{6})C_1e^{(-1+\sqrt{6})t}+(-3-\sqrt{6})C_2e^{(-1-\sqrt{6})t}$

Ответ:

$\sf \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\sf x\\\sf y\\\end{array}\right)=C_1e^{(-1+\sqrt{6})t}\left(\begin{array}{ccc}\sf 1\\\sf -3+\sqrt{6}\\\end{array}\right)+C_2e^{(-1-\sqrt{6})t}\left(\begin{array}{ccc}\sf 1\\\sf -3-\sqrt{6}\\\end{array}\right)$