Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! помогите, пожалуйста!!


1. найти длину промежутка убывания функции y = x^2-10ln(x-4)+2
2. вычислить y''xx при t=1/2 если x=t^2 y=t^3+t
3. вычислить y' в точке A(2;3) если y^2-2xy-3=0
4. Вычислить z''xy в точке (1;1) если z=e^xy

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) y'=2*x-10/(x-4)=(2*x²-8*x-10)/(x-4)=2*(x+1)*(x-5)/(x-4). Из уравнения y'=0 находим две критические точки x1=-1 и x1=5. Но так как выражение ln(x-4) определено только при x>4, то и y' мы можем рассматривать лишь при x>4. На интервале (4;∞) имеется лишь одна критическая точка x=5. Если x∈(4;5), то y'<0, поэтому на этом интервале функция убывает. Если x∈(5;∞), то y'>0, поэтому на этом интервале функция возрастает. Поэтому длина промежутка убывания функции неограниченно приближается к числу 5-4=1, оставаясь при этом меньшей, чем 1. Иначе говоря, длина промежутка убывания имеет предел справа, равный 1.

2) y"(x)=[y"(t)*x'(t)-x"(t)*y'(t)]/[x'(t)]³. Так как x'(t)=2*t, x"(t)=2, y'(t)=3*t²+1, y"(t)=6*t, то при t=1/2 x'(1/2)=1, x"(1/2)=2, y'(1/2)=7/4, y"(1/2)=3. Отсюда y"(x)=(3*1-2*7/4)/1³=-0,5.

3. Дифференцируя данную неявную функцию по x и учитывая при этом, что y=f(x), получаем: 2*y*y'-2*y-2*x*y'=0. Отсюда y'=2*y/(2*y-2*x)=y/(y-x). Если y=3 и x=2 (точка А), то y'=3/(3-2)=3.

4. z'x=y*e^(x*y), z"xy=e^(x*y)+x*y*e^(x*y). Тогда при x=1 и y=1 z*xy=e^(1*1)+1*1*e^(1*1)=2*e.