Question

решите неравенство подробно

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$x+\sqrt{x^2+4}\ge(2x+1+\sqrt{4x^2+4x+2})\cdot8^{x+1}$

Выполним деление обеих частей неравенства на 2:

$\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{x^2+4}{4}}\ge(2x+1+\sqrt{4x^2+4x+2})\cdot2^{3x+2}$

Немного преобразуем полученное:

$\dfrac{x}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+1}\ge(2x+1+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1})\cdot2^{3x+2}$

Выполним умножение обеих частей неравенства на $2^x>0$ (⇒ знак сохраняем):

$\left(\dfrac{x}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+1}\right)\cdot2^{2\cdot\frac{x}{2}}\ge(2x+1+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1})\cdot2^{2(2x+1)}$

Замечаем, что обе части неравенства имеют общий вид и записываем:

$f(t)=\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\cdot2^{2t}$

Эта функция монотонно возрастает.

Тогда верно, что:

$f\left(\dfrac{x}{2}\right)\ge f(2x+1),\;\Leftrightarrow\;\dfrac{x}{2}\ge2x+1$

Решение этого неравенства очевидно:

$x\le-\dfrac{2}{3}$

Запишем теперь ответ в виде промежутка:

$x\in\left(-\infty;\;-\dfrac{2}{3}\right]$

Неравенство решено!