Question

Решите уравнение:
$\arcsin(2x^{3}+2x^{2}-3x-0.2)=\arcsin(3x^{2}-2x-0.2)$
​

Answer 1

$0;\ \ 1.$${}$ Как известно, функция $y=\arcsin x$  монотонная (монотонно возрастающая, но это в данной задаче не имеет значения). А поэтому из равенства значений этой функции следует равенство значений аргумента (кому это рассуждение кажется сложным, можете взять от левой и правой части синус). Получается уравнение

$2x^3+2x^2-3x-0,2=3x^2-2x-0,2;\ 2x^3-x^2-x=0;\ x(x-1)(2x+1)=0;$

                                      $x=0;\ x=1;\ x=-\dfrac{1}{2}.$

Остается проверить найденные значения на принадлежность ОДЗ. При этом достаточно проверить, какие из этих значений принадлежит области определения только одного арксинуса - ведь при составлении уравнения мы приравняли аргументы арксинусов.  Будем подставлять в правый арксинус.

$x=0;\ 3\cdot 0^2-2\cdot 0-0,2=-0,2\in [-1;1];$

$x=1;\ 3\cdot 1^2-2\cdot 1-0,2=0,8\in [-1;1];$

$x=-\dfrac{1}{2};\ 3\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)-0,2=1,55>1.$

Вывод: первые два найденных значения являются решениями исходного уравнения, а третье - нет.

Ответ:     0;   1.