Question

Для целых чисел x и y выполнено неравенство
$5 |4x + 3y + 13| + 3 \sqrt{3x + 2y + 11} \leqslant 4$
Укажите наименьшее значение, которое может принимать сумма x+y​

Answer 1

Ответ: $-14$

Пошаговое объяснение:

Предположим, что:

$|4x + 3y +13| >=1$

Тогда:

$3\sqrt{3x+2y+11} >=0\\5*|4x+3y+13|>=5\\5*|4x+3y+13| + 3\sqrt{3x+2y+11} >=5$

То есть этот случай нам не подходит, а поскольку числа $x,y$ целые, то

$|4x + 3y + 13|$ - целое положительное число.

Таким образом, остается единственный вариант:

$|4x+3y+13| = 0\\4x + 3y = -13\\3\sqrt{3x+2y+11} <= 4$

Примем для удобства: $x+y = t$

Тогда получаем:

$3x + 2y = 4x + 3y - (x+y) = 4x + 3y - t = -13 - t\\3*\sqrt{-13 - t} <=4$

ОДЗ:

$-13 - t >=0\\t<= - 13$

$\sqrt{-13 - t} <= \frac{4}{3}\\-13-t <= \frac{16}{9} \\t >= -13 - \frac{16}{9} \\-14 - \frac{7}{9} <=t<= -13$

Поскольку $t = x+y$ - целое число, то минимальное значение $x+y$ равно $-14$

На всякий случай проверим, что числа $a,b$ будут целыми при данном значении:

$x+y = -14\\4x + 3y = -13\\x = 29\\y = -43$

Все верно.