Ответы
Ответ:
Факториал числа n:
n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot nn!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n
По определению факториала данное число можно представить как произведение последовательных натуральных чисел:
2020!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 2019\cdot 20202020!=1⋅2⋅3⋅...⋅2019⋅2020
Будем проверять на делимость множители в правой части. Выделим числа, кратные 19.
Если число кратно 19, то его можно представить как 19n (например 19, 2*19, 3*19, ...). Найдём наибольший множитель в правой части, представимый в таком виде:
\begin{gathered}19n \leq 2020\\ \\ n \leq \frac{2020}{19} \\\\ n \leq 106\frac{6}{19}\end{gathered}
19n≤2020
n≤
19
2020
n≤106
19
6
Так как n ∈ N, то наибольшее n = 106 (соответствует множителю 2014).
Заметим, что n означает количество множителей в правой части, кратных 19: 19, 38, 3*19, 4*19, ..., 104*19, 105*19, 106*19. Всего их n = 106. Значит число 2020! разделится на 19¹⁰⁶ без остатка.
Однако, 19² = 361 < 2020, а значит среди множителей выше найдутся те, которые кратны 19 дважды, например число 19² = 361. Такие числа дадут возможность ещё раз поделить их без остатка на 19, то есть увеличат итоговый ответ. Они попадаются, когда n кратно 19 (19*19, 38*19, 57*19, ...). Найдём их количество.
Так как в этом случае n кратно 19, то n = 19m, получим:
\begin{gathered}19m\leq 106\\ \\ m\leq \frac{106}{19} \\ \\ m\leq 5\frac{11}{19}\\ \\ m=5\end{gathered}
19m≤106
m≤
19
106
m≤5
19
11
m=5
Получается, что всего таких чисел 5 (361, 722, 1083, 1444, 1805). Значит если разделить 2020! ещё на 19⁵, то получится целое число. Итого:
2020! : 19^{106} : 19^5 = 2020! : 19^{106+5}=2020!:19^{111}\in Z2020!:19
106
:19
5
=2020!:19
106+5
=2020!:19
111
∈Z
Так как 19³ > 2020, то чисел кратных 19 трижды и более в числе 2020! не встречается. Иных кратных 19 множителей, которые не учли, нет.
Получаем, что число 2020! делится без остатка на 19 в 111 степени.
Объяснение:
пожалуйста зделайте лучший ответ