Question

Сколько единиц в двоичной записи числа 8^4024 – 4^1605 + 2^1024 – 126?
Для решения задачи, я написал следующую программу на языке Python:
num = str(bin((8**4024)-(4**1605)+(2**1024)-126))
container = 0
for i in range(len(num)):
if num[i]=="1":
container+=1
print(container)

Проверив программу на других подобных заданиях, решил что она рабочая. Ответом служит число 9880. Хочу узнать, как получить такой же ответ на бумаге? Желательно с подробным объяснением.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Поскольку после предложенного автору вопроса варианта знакомства с достаточно формальным объяснением на РешуЕГЭ, у него остались вопросы, попробую объяснить максимально неформально.

Итак, начнем:

$8^{4024}-4^{1605}+2^{1024}-126=2^{12072}-2^{3210}+2^{1024}-2^7+2^1$

Как можно заметить, первым шагом мы перешли к степеням двойки.

Теперь проведем аналогию. У нас система счисления привычная нам десятичная. И у нас $10^1=10,\;10^2=100,,\;10^3=1000...$ и так далее. Возникает вопрос: "А не будет ли в двоичной сс что-то похожее?" Ответ очевиден: будет. Действительно, $2^1=10_2,\;2^2=100_2,\;2^3=1000_2$.

Тогда что такое $2^{12072}$? Правильно. Это $1$ и еще $12072$ нулей после него в двоичной сс. Возникает новый вопрос: "А можно ли это как-то использовать?" Ответ: да, можно, а более того и нужно. Сколько будет $2^{10}+2^{5}$ в двоичной сс? Конечно же $10000100000_2$ (единица, 4 нуля, единица, 5 нулей). Почему так? потому что из вышесказанного следует $2^{10}=10000000000_2$, а $2^5=100000_2$. Такое сложение делается в уме. Его результат ясен сразу, что является главным достоинством в нашем деле. Теперь к нашему примеру. Забудем пока про вычитание. Что будет, если вычислить $2^{12072}+2^{1024}+2^{1}$? Как уже догадался читатель, ответ будет такой формы: $10000....0001000...00001_2$. Я намеренно не пишу все нули и ставлю троеточия. А зачем их писать? Выписываем только те части, которые нам нужны. Знаем, что они там есть и хорошо. Бумагу надо экономить! Просто укажем сколько их там, например, вот таким способом:

$1\underbrace{0000....000}_{11047}1\underbrace{000...0000}_{1023}1_2$

Теперь к вычитаниям. Нам надо вычесть из этого числа $2^{3210}$ и $2^{7}$.

Снова отойдем от задачи, чтобы понять идею. У нас есть выражение $2^{5}-2^{3}$. Как это считать? Как уже привыкли столбиком. Будет $11000_2=24_{10}$. В нашем случае я всегда вычитаю пошагово. То есть сначала $2^{3210}$, потом $2^7$.

Здесь неудобно писать формулы, прошу посмотреть прикрепленный файл. Там процесс вычитания описан несколько более подробно, чем так, как я бы решал эту задачу с набитой рукой. Как видим, ответ получился $9880$.
Я старался объяснить максимально просто, понятно и на вашем языке. Надеюсь, что у меня это получилось и я не запутал вас окончательно. Вообще, задача несложная и решается за минуту спокойно, а объяснение вышло громоздкой отчасти из-за обилия отступлений.

Задание выполнено!

Комментарий:

Позволю себе заметить, что автор, судя по всему не зная питона, берется программировать на нем, а это плохо.

Почему бы не написать что-то такое?

print(str(bin((8**4024)-(4**1605)+(2**1024)-126)).count('1'))

Не понимаю уместности цикла for.