Question

Докажите тождество пжжж срочно

Answer 1

$1+\text{tg}\,5\beta\,\text{tg}\,10\beta = \dfrac{1}{\cos10\beta}\\\\\\1+\text{tg}\,5\beta\,\text{tg}\left(2\cdot5\beta\right) = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$\boxed{\boldsymbol{\text{tg}\,2\alpha = \dfrac{2\,\text{tg}\,\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}}}$

Тогда у нас:

$\boxed{\text{tg}\left(2\cdot5\beta\right) = \dfrac{2\,\text{tg}\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta}}$

Заменяем в условии:

$1+\text{tg}\,5\beta\cdot\dfrac{2\,\text{tg}\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

Выполним умножение:

$1+\dfrac{2\,\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

В левой части приводим слагаемые к одному знаменателю:

$\dfrac{1-\text{tg}^2\,5\beta + 2\,\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}\\\\\\\dfrac{1+\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

Так как  $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , то:

$\dfrac{1 + \left(\dfrac{\sin5\beta}{\cos5\beta}\right)^2}{1 - \left(\dfrac{\sin5\beta}{\cos5\beta}\right)^2} = \dfrac{1}{\cos10\beta}\\\\\\\dfrac{1+\dfrac{\sin^25\beta}{\cos^25\beta}}{1-\dfrac{\sin^25\beta}{\cos^25\beta}} = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

Приводим к одному знаменателю:

$\dfrac{\dfrac{\cos^25\beta + \sin^25\beta}{\cos^25\beta}}{\dfrac{\cos^25\beta - \sin^25\beta}{\cos^25\beta}}} = \dfrac{1}{\cos10\beta}\\\\\\\dfrac{\cos^25\beta + \sin^25\beta}{\cos^25\beta - \sin^25\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

По основному тригонометрическому тождеству:

$\boxed{\boldsymbol{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1}}$

Тогда в числителе получается:

$\dfrac{1}{\cos^25\beta-\sin^25\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}$

По формуле косинуса двойного угла:

$\boxed{\boldsymbol{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha = \cos2\alpha}}$

Тогда имеем:

$\dfrac{1}{\cos\left(2\cdot5\beta\right)} = \dfrac{1}{\cos10\beta}\\\\\\\boldsymbol{\dfrac{1}{\cos10\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}}$

После преобразований левая и правая части оказались одинаковы, а значит, тождество доказано.