Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, длина отрезка, несмежного с известным катетом, – 6 см. Длинна второго катета и гипотенузы?
Ответы
Ответ: 8 см; 4√3 см
Объяснение:
Пусть в ∆ АВС угол В=90°, АВ=4, ВН - высота, АН - проекция АВ на гипотенузу, СН - проекция ВС на гипотенузу.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному.
∆ АВН~∆АВС.
АН:АВ=АВ:АС
Примем АН=х.=>
х:4=4:(х+6) , => квадратное уравнение х²+6х-16.
Решив его найдем х₁=2, х₁=-8( не удовлетворяет условию, т.к. длина отрицательной быть не может).
Следовательно, гипотенуза АС=АН+НС=2+6=8 см.
ВС можно теперь вычислить по т.Пифагора или
аналогично предыдущему из подобия ∆ НВС и ∆ АВС
ВС:АС=НС:ВС
ВС:8=6:ВС=>
ВС²=8•6
ВС=4√3
———
Данным решением доказано свойство катета, которое полезно запомнить: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
2√3 см; 4 см
8 см; 4 см
6 см, 8√2 см
8 см; 4√3 см