Question

Дано (x^4-x^2+1)^6-(3x^4-2x^2+1)^2

a)степень многочлена

б)старший коэффициент и свободный член

в)сумму коэффициентов многочлена

г)сумму коэффициентов при четных степенях
(с решением)

Answer 1

Ответ:

а) степень многочлена 24;

б) старший коэффициент равен 1,а свободный член равен 0;

в) сумма коэффициентов многочлена составляет (-3);

г) сумма коэффициентов при четных степенях равна 0.

Объяснение:

Пусть Р(х) = (x⁴ - x² + 1)⁶ - (3x⁴ - 2x² + 1)².

Найдем:

a)степень многочлена;

б)старший коэффициент и свободный член;

в)сумму коэффициентов многочлена;

г)сумму коэффициентов при четных степенях.

РЕШЕНИЕ:

а) Степень многочлена - это наивысшая степень переменной х в данном многочлене.

Данный многочлен представлен в виде разности степеней двух многочленов. Проверим какие наивысшие степени х получатся в каждом из них.

(х⁴)⁶ = х²⁴, (х⁴)² = х⁸.

Отсюда, степенью многочлена будет 24.

б) Старший коэффициент - это коэффициент при х в наивысшей степени.

Поскольку степень многочлена 24, рассмотрим какой коэффициент при х в этой степени.

При х⁴ стоит коэффициент 1, 1⁶ = 1, значит старший коэффициент

а₂₄ = 1.

Свободный член найдем как разность свободных членов каждого из двух многочленов,

1⁶ - 1² = 1 - 1 = 0

а₀ = 0.

в) Чтобы найти сумму коэффициентов многочлена, достаточно подставить в него единицу вместо х.

Р(1) =  (1⁴ - 1² + 1)⁶ - (3 · 1⁴ - 2 · 1² + 1)² = 1⁶ - (3 - 2 + 1)² = 1 - 4 = -3

г) Сумма коэффициентов при чётных степенях равна  

½ (P(1) + P(–1)).

Найдем Р(–1):

Р(–1) = ((-1)⁴ - (-1)² + 1)⁶ - (3 · (-1)⁴ - 2 · (-1)² + 1)² = (1 - 1 + 1)⁶ - (3 - 2 +1)² = 1⁶ - 4 = -3

$\displaystyle \frac{1}{2} (P(1)+P(-1))=\frac{1}{2}(-3+(-3))=0$