Question

Решить уравнение
${x}^{x} = 0.75$
​

Answer 1

Ответ:

e^($W_{-1}$(ln(3/4)); e^($W_{0}$(ln(3/4))

Объяснение:

x^x = 3/4
xlnx = ln(3/4)

Пусть x=e^t. Тогда
e^t * t = ln(3/4)
t * e^t = ln(3/4)
Вспоминаем (или узнаем) про существование W-функции Ламберта, которая является обратной к функции x * e^x. Получаем:
W(t * e^t) = W(ln(3/4))
t = W(ln(3/4))
Т.к. x=e^t, t=ln(x). Получаем
ln(x) = W(ln(3/4))
x = e^(W(ln(3/4))
НО! Т.к. ln(3/4) < 0, но больше -1/e, у нас уже получится более одного корня. Один из них равен e^($W_{-1}$(ln(3/4)), а другой - e^($W_{0}$(ln(3/4)) .