Ответы
а) Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 4 y – 6 z – 2
6 – 4 12 – 6 3 – 2
(-2) – 4 0 – 6 1 - 2 = 0
x – 4 y – 6 z – 2
2 6 1
-6 -6 -1 = 0
(x – 4)(6·(-1)-1·(-6)) – (y – 6)(2·(-1)-1·(-6)) + (z – 2)(2·(-6)-6·(-6)) = 0
0(x – 4) + (-4)(y – 6) + 24(z – 2) = 0
- 4y + 24z - 24 = 0. Это уравнение плоскости М1М2М3.
б) Для параллельной плоскости используем нормальный вектор плоскости М1М2М3, равный (0; -4; 24) и координаты точки Мо(-2; 2; 3).
0*(x+ 2) + (-4)*(y – 2) + 24(z – 3) = 0,
-4y + 8 + 24z – 72 = 0,
-4y + 24z – 64 = 0.
в) Находим вектор М1М3.
М1М3 = (-2-4; 0-6; 1-2) = (-6; -6; -1).
Для искомой плоскости он будет нормальным вектором.
Для уравнения плоскости используем нормальный вектор плоскости М1М3, равный (-6; -6; -1) и координаты точки Мо(-2; 2; 3).
(-6)*(x+ 2) + (-6)*(y – 2) + (-1)(z – 3) = 0,
-6x – 12 - 6y + 12 - z + 3 = 0,
-6x - 6y - z + 3 = 0 или с положительным значением коэффициента при х: 6x + 6y + z - 3 = 0.
г) Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|√A2 + B2 + C2
Подставим в формулу данные:
d = |0·(-2) + (-4)·2 + 24·3 + (-24)|/√02 + (-4)2 + 242 =
= |0 - 8 + 72 - 24|/√0 + 16 + 576 =
= 40/√592 = 10√37/37 ≈ 1,64399.
д) Находим вектор М1М2.
М1М2 = (6-4; 12-6; 3-2) = (2; 6; 1).
Уравнение М1М2: (x + 2)/2 = (y – 2)/6 = (z – 3)/1.
е) Находим вектор М1М3.
М1М2 = (-2-4; 0-6; 1-2) = (-6; -6; -1).
Уравнение М1М3: (x + 2)/(-6) = (y – 2)/(-6) = (z – 3)/(-1).
Приравняв уравнения параметру t, получаем параметрические уравнения прямой М1М3:
(x + 2)/(-6) = (y – 2)/(-6) = (z – 3)/(-1) = t.
x = -6t – 2,
y = -6t + 2,
z = -t + 3.
э) Вектор М1М2 = (2; 6; 1), его модуль равен √(4+36+1) = √41.
вектор М1М3 = (-6; -6; -1), его модуль равен √(36+36+1) = √73.
cos(M1M2_M1M3) = |(2*(-6)+6*(-6)+1*(-1)|/( √41*√73) =
= |-49|/√2993 ≈ 0,89566.
Угол равен arccos 0,89566 = 26, 4068 градуса.