Question

Дві працівниці можуть виконати комп'ютерний набір тексту підручника алгебри за 8 днів . Якщо перша працівниця набере ⅔ , а потім друга - завершить набір , то весь текст підручника буде набрано за 16 днів . За скільки днів набере тексту перша та друга працівниця?

Answer 1

Відповідь:

Перша працівниця набере текст за 12 днів, а друга за 24

або перша за 16 і друга  - за 16.

Пояснення:

1. Задачу розв'яжемо за допомогою складання системи рівнянь. Для цього введемо змінні x та y.
2. Нехай перша працівниця може набрати весь текст за x днів, тоді друга працівниця  -  за y днів. Тоді за один день перша працівниця може виконати  1/x частину роботи, а  друга  - 1/y частину роботи.  Разом за один день дві працівниці можуть виконати 1/8  частину всієї роботи. Отже, складемо перше рівняння системи:

                    $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{1}{8}$

   3. Оскільки за 16 днів буде набрано весь текст підручника, якщо перша працівниця набере 2/3 всієї роботи, а потім друга - завершить набір. Значить в цьому випадку перша  працівниця виконає свою роботу за $\frac{2}{3} x$ днів, а друга - за $\frac{1}{3} x$ днів. Отже, складемо друге  рівняння системи:

                 $\frac{2}{3} x+\frac{1}{3} x=16$

4. Запишемо систему рівнянь:

      $\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{1}{8}, \\ \frac{2}{3} x+\frac{1}{3} x=16; \end{cases}\end{equation*}$

• 5. Домножимо перше рівняння на 8xy, а друге  - на 3, щоб позбутися дробів і отримаємо таку систему:

      $\begin{equation*} \begin{cases} \ 8x+8y-xy =0, \\ 2x+y=48; \end{cases}\end{equation*}$

• 6. Розвяжемо систему способом підстановки:  виразимо в другому рівнянні y через x та підставимо замість y утворене його значення в перше рівняння:

    $\begin{equation*} \begin{cases} \ 8x+8y-xy =0, \\ y=48-2x; \end{cases}\end{equation*}$

• Отримане рівняння з однією змінною  зведемо до квадратного та розв'яжемо через дискримінант:

        $8x+8(48-2x)-x(48-2x)=0$

        $8x+384-16x-48x+2x^{2} =0$

        $\\2x^{2} -56x+384=0$

        $\\\\x^{2} -28x+192=0$

      $D=b^{2} -4ac=28^{2} -4\cdot192=784-768=16$

     $x_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{28-4}{2} =12\\x_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{28+4}{2} =16$

• Знайдемо значення y₁ та y₂, підставивши відповідні значення  x₁ та x₂ у рівність y=48-2x:

       Якщо x₁=12, то y₁=48-2x=48-2·12=24;

       Якщо x₂=16, то y₂=48-2x=48-2·16=16.

Відповідь: перша за 16 або 12 днів, а друга  - за 16 або за 24 дні.