Question

Найти общее решение дифф. уравнения , допускающего понижение порядка.задание 359

Answer 1

Ответ:

359)

$y''\cdot tgx=y'+1$

Имеем уравнение вида   $F(x,y'y'')=0$  . Решаем с помощью замены первой производной на функцию, зависящую от х .

$1)\ \ Zamena:\ \ u(x)=y'\ \ ,\ \ u'=y''\\\\u'\cdot tgx=u+1\ \ ,\ \ \ u'=\dfrac{u+1}{tgx}\ \ ,\ \ \ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{u+1}{tgx}\ \ ,\ \ \ \displaystyle \int \dfrac{du}{u+1}=\int \dfrac{dx}{tgx}\ \ ,\\\\\\ln|u+1|=ln|sinx|+lnC_1\ \ \to \ \ \ u+1=C_1\cdot sinx\ \ ,\\\\\\2)\ \ y'=C_1\cdot sinx-1\ \ ,\ \ \ \frac{dy}{dx}=C_1\cdot sinx-1\ \ ,\ \ \int dy=\int (C_1\cdot sinx-1)\, dx\ ,\\\\y=-C_1\cdot cosx-x+C_2$

Формулы.  

$\displaystyle \star \ \ \int \frac{dx}{tgx}=\int ctgx\, dx=\int \frac{cosx\, dx}{sinx}=\int \frac{d(sinx)}{sinx}=ln|sinx|+C\ \ \star \\\\\\\star \ \ \int \frac{dx}{kx+b}=\frac{1}{k}\cdot ln|\, kx+b\, |+C\ \ \star$