Question

Очень срочно!!!! 100 баллов
В окружность вписан равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны a. Через его вершину провели хорду окружности длины b, которая пересекает основание треугольника. Найдите длину отрезка этой хорды, лежащего в данном треугольнике. ​

Answer 1

Ответ:

Длина искомого отрезка оавна

$AX = \frac{ {a}^{2} }{b}$

Объяснение:

Дано:

$\triangle{ABC}, AC = AB = a;\\ A, B, C \in (O;r)\\ K \in (O;r), AK = b; AK\cap{BC}=X$

Найти: $AX = ?$

Решение: Пусть, х - искомая длина АХ

Проведем из т. А окружности (О; r) диаметр AD, пересекающий сторону ВС в т. Н $AD\cap{BC} = H$

т.к. AD - диаметр (О;r) => центр О окружности лежит на диаметре AD. $O \in AD$.

т.к. ∆АВС вписан в окружность (OB = OC) и является равнобедренным, (AB = AC), $O, H\in{AD}$ => в ∆АВС линия AH - является опущенной на ВС высотой, медианой, биссектрислй и срединным перпендикуляром.

Пусть, для удобства расчета:

АH = h

АХ = x

AD = d

Рассмотрим уг.ABD и уг.AKD.

Оба эти угла вписаны в окружность и опираются на ее диаметр AD =>

=> уг.ABD = уг.AKD = 90°, а ∆ABD и ∆AKD - прямоугольные.

Рассмотрим ∆AHВ и ∆AXH:

т.к. АН _|_ ВС => уг.AHВ = уг.AXH = 90°,

а ∆AHВ и ∆AHХ - прямоугольные

Рассмотрим ∆AHВ и ∆ABD:

уг.НАВ = уг.DAB (общий уг.), уг.AHВ = уг.ABD = 90° =>

=> ∆AHВ и ∆ABD - подобные.

А это означает что:

$\frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AD}$

или

$\frac{h}{a}=\frac{a}{d}$

Рассмотрим ∆AHХ и ∆AКD:

уг.НАХ = уг.DAК (общий уг.), уг.AHХ = уг.AКD = 90° =>

=> ∆AHХ и ∆AКD - подобные.

А это означает что:

$\frac{AH}{AX}=\frac{AK}{AD}$

или

$\frac{h}{x}=\frac{b}{d} \: \: < = > \: \: \frac{x}{h}=\frac{d}{b}$

т.к. данные соотношения длин у обеих пропорций являются заведомо положительными величинами, то произведение левых частей обеих пропорций будет равно произведению правых частей. Перемножим:

$\begin{cases}\frac{h}{a} =\frac{a}{d}\\ \frac{x}{h}=\frac{d}{b}\\ \end{cases} \: \: \: = > \: \begin{cases}\frac{h}{a} \times\frac{x}{h} =\frac{a}{d} \times\frac{d}{b} \\ \frac{x}{h}=\frac{d}{b} \\ \end{cases} \: \: \: = > \\ = > \: \frac{ \cancel{h \: }}{a} \times\frac{x}{\cancel{h \: }} =\frac{a}{\cancel{d \: }} \times\frac{\cancel{d \: }}{b} = > \\ = > \frac{x}{a} = \frac{a}{b}$

Отсюда выразим искомое х:

$= > \: x = \frac{a \times a}{b} = \frac{ {a}^{2} }{b}$

Это и есть ответ.