Question

Помогите с матешой пж с решением!!!

Answer 1

Ответ:

Производная второго порядка:

y'' = -tg²2x

Значение второй производной при х = π/12:

$\displaystyle y''\left(\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{8}{3}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить производную второго порядка.

$y=ln\sqrt{cos2x}$

1. Вычислим производную первого порядка.

Здесь производная сложной функции.

Нам помогут формулы:

$\displaystyle \boxed { (lnu)'=\frac{u'}{u} }$     $\displaystyle \boxed { (u^n)'=nu^{n-1}\cdot u'}$     $\displaystyle \boxed { (cosu)'=-sinu\cdot u' }$

$\displaystyle y'=\frac{(\sqrt{cos2x})' }{\sqrt{cos2x} } =$

$\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}(cos2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot(cos2x)' }{\sqrt{cos2x} } =$

$\displaystyle =\frac{-sin2x\cdot(2x)'}{2\sqrt{cos2x}\cdot\sqrt{cos2x} } =$

$\displaystyle =\frac{-sin2x\cdot2}{2\cdot {cos2x}} =-\frac{sin2x}{cos2x}=-tg2x$

2. Вычислим производную второго порядка.

y'' = (y')'

Нам понадобятся формулы:

$\displaystyle \boxed {(tgu)'=\frac{u'}{cos^2u} }$

$\displaystyle y''=-\frac{(2x)'}{cos^22x}$$\displaystyle =-\frac{2}{cos^22x}$

3. Вычислим значение второй производной при х = π/12:

$\displaystyle y''\left(\frac{\pi }{12}\right) =-\frac{2}{(cos\frac{2\cdot\pi }{12} )^2}=$$\displaystyle -\frac{2}{(cos\frac{\pi }{6} )^2}$ $\displaystyle =-\frac{2\cdot4}{3}= -\frac{8}{3}$