Question

помогите пожалуйста))​

Answer 1

Ответ:

АС=2дм

Объяснение:

ДАНО: ∆АВС – остроугольный; АН и СК – высоты; АН=1дм, СК=2дм, угол между ними=60°

НАЙТИ: АС

=======================================

РЕШЕНИЕ: пусть высоты пересекаются в точке О, тогда ∠СОН=∠АОК=60°. Рассмотрим ∆СОН и ∆АОК.

Они прямоугольные, так как АН и СК – высоты, а также они подобны по двум углам: ∠СОН=∠АОК – по условию и ∠СНО=∠АКО=90°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит

∠КСН=∠КАН=90–60=30°

Рассмотрим ∆СВК, он прямоугольный, ВК и СК – катеты, ВС – гипотенуза. Найдём ВС через косинус угла. Косинус угла – это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе, поэтому:

$\\ \\ \cos(30) = \frac{ck}{bc} = > bc = \frac{ck}{ \cos(30) } = \\ \\ = 2 \div \frac{ \sqrt{3} }{2} = 2 \times \frac{2}{ \sqrt{3} } = \frac{4}{ \sqrt{3} } (dm)$

Рассмотрим ∆АВН, он прямоугольный, АН и ВН – катеты, АВ – гипотенуза. Найдём АВ через косинус угла:

$\\ \\ ab = \frac{ah}{ \cos(30) } = 1 \div \frac{ \sqrt{3} }{2} = 1 \times \frac{2}{ \sqrt{3} } = \\ \\ = \frac{2}{ \sqrt{3} } (dm)$

Из ∆СВК: ∠В=90–∠ВСК=90–30=60°

По теореме косинусов найдём АС:

АС²=ВС²+АВ²–2•ВС•АВ•cosB=

$\\ \\ ( \frac{4}{ \sqrt{3} } ) {}^{2} + ( \frac{2}{ \sqrt{3} }) {}^{2} - 2 \times \frac{4}{ \sqrt{3} } \times \frac{2}{ \sqrt{3} } \times \\ \\ \times \cos(60) = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} - \frac{16}{3} \times \frac{1}{2 } = \\ \\ = \frac{20}{3} - \frac{8 \times 2}{3 \times 2} = \frac{20}{3} - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$

AC=√4=2(дм)