Question

Даю 20 баллов
Координаты треугольника:
А (4; 8)
В ( -2; 10)
С (6; 2)
Найти:
1) уравнение сторон треугольника
2) угол А
3) уравнение медианы BM
4) Уравнение высоты СН
5) Уравнение прямой АК || ВС
6) центр тяжести
7) расстояние от центра тяжести до стороны АВ
8) В системе координат построить треугольник и все найденные элементы
9) найти периметр треугольника
10) найти площадь треугольника

Answer 1

Координаты треугольника:

А (4; 8), В ( -2; 10), С (6; 2).

Найти:

1) уравнение сторон треугольника.

Координаты векторов сторон

АВ (c) BC (a) AС (b)

x y x y x y

-6 2 8 -8 2 -6

Длины сторон АВ (с)= √(36+ 4) = √40 = 6,32456

                BC (а)=  √(64+ 64) = √128 = 11,3137

               AC (b)= √(4+ 36) = √40 = 6,32456

Периметр Р =     23,9628

Полупериметр р=     11,9814

Уравнения сторон:

АВ: (х – 4)/(-6) = (у – 8)/2.

ВС: : (х + 2)/8 = (у – 10)/(-8).

АС: (х – 4)/2 = (у – 8)/(-6).

2) угол А.

cos A = (-6*2 + 2*(-6))/( √40*√40) = -24/40 = -3/5.

Угол А = arccos(-3/5) = 126,8699 градуса.

3) уравнение медианы BM.

Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М = А (4; 8) + С (6; 2))/2 = (5; 5).

Вектор ВМ = (5 – (-2); 5 – 10) = (7; -5).

Уравнение ВМ: (х + 2)/7 = (у – 10)/(-5).

4) Уравнение высоты СН.

Вектор СН перпендикулярен вектору АВ.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x * b x + a y * b y = 0

Для вектора АВ (-6; 2) такому условию соответствует вектор СН(2; 6).

Уравнение СН: (х – 2)/2 = (у + 6)/6.

5) Уравнение прямой АК || ВС.

Направляющим вектором этой прямой будет вектор ВС(8; -8).

Уравнение АК: (х – 4)/8 = (у – 8)/(-8).

6) центр тяжести.

Его координаты (точка О) равны среднеарифметическому координат вершин треугольника как точке пересечения медиан.

О = ((4 - 2+ 6)/3); (8 + 10 + 2)/3) = ((8/3); (20/3)).

7) расстояние от центра тяжести до стороны АВ.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C|/√(A2 + B2)

Подставим в формулу данные:

d = |1·(8/3) + 3·(20/3) + (-28)|/√(12 + 32) = |8/3 + 20 - 28|/√(1 + 9) =

= (16/3)/√10 = 8√10/15 ≈ 1.6865.

8) В системе координат построить треугольник и все найденные элементы.

9) найти периметр треугольника – дан в пункте 1: Р = 23,9628.

10) найти площадь треугольника.

По формуле Герона S = √(11,9814 *5,65685*0,6677*5,65685) = 16.