Question

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
а) y=x^4-2x^2-3

Answer 1

Ответ:

Функция возрастает на промежутках [-1; 0]; [1; +∞);

Функция убывает на промежутках (-∞; -1]; [0; 1].

Точки экстремумов:

x min = -1;   x min = 1;

x max = 0.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

1. Для того, чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции, найдем производную первого порядка.
2. Приравняем производную к нулю и найдем корни.
3. Отметим их на числовой оси и найдем знаки производной на промежутках.
4. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.
5. Если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке будет максимум, если с минуса на плюс - минимум.

1. у = х⁴ - 2х² - 3

Найдем производную:

$\displaystyle \boxed {(x^n)'=nx^{n-1}}$

y' = 4x³ - 2 · 2x = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)

Приравняем к нулю и найдем корни:

4x(x - 1)(x + 1) = 0

х = 0;     х = 1;     х = -1.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

См. рисунок.

Функция возрастает на промежутках [-1; 0]; [1; +∞);

Функция убывает на промежутках (-∞; -1]; [0; 1].

Точки экстремумов:

x min = -1;   x min = 1;

x max = 0.