Question

Найти решение задачи Коши
y'+2y/x=1/x^2, y(2)=1

Answer 1

Ответ:

метод Эйлера

$y ' + \frac{2}{x} y = \frac{1}{ {x}^{2} }$

найдём μ(x)

$μ(x) = {e}^{ ∫\frac{2}{x}dx } = {e}^{2lnx} = {e}^{ln {x}^{2} } = {x}^{2}$

теперь нужно умножить это уравнение на найденный множитель μ(x)=х²

${x}^{2} y ' + 2xy = 1 \\ ( y{x}^{2} ) ' = 1 \\ y {x}^{2} = ∫1dx \\ y {x}^{2} = x + С \\ y = \frac{x +С }{ {x}^{2} }$

теперь используем то что у(2)=1 чтобы найти С

$1 = \frac{2 +С }{ {2}^{2} } \\ 4 = 2 + С \\ С = 2$

теперь запишем ответ с известной константой

$y = \frac{x + 2}{ {x}^{2} }$

(решения методом Бернулли на фото)