Question

Через сторону АВ, равную 20 см, квадрата ABCD проведена плоскость α так, что точка С находится от неё на расстоянии 10 см. а) На каком расстоянии от плоскости α находится точка пересечения диагоналей квадрата? б) Найдите угол φ, который диагональ квадрата образует с плоскостью α.

Answer 1

Дано:

ABCD — квадрат;

АВ = 20 см;

α ∩ (АВС) = АВ;

СМ = 10 см.

Найти:

а) ОN;

б) ∠φ.

                                           Решение:

Пусть О — точка пересечения диагоналей квадрата.

Расстояние от точки до плоскости — это перпендикуляр к плоскости, проведенный из этой точки.

Значит, CM ⊥ α и ON ⊥ α.

а)

Когда прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, они параллельны друг другу.  

Отсюда, CM║ON.

Рассмотрим треугольник CAM.

Прямая, которая параллельна одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Это значит, что Δ OAN ~ Δ CAM.

Квадрат — это параллелограмм, а его диагонали точкой пересечения делятся пополам, так что:

$\frac{AO}{AC}= \frac{1}{2}$.

У подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны, значит, отношение стороны ON к стороне CM такое же.

$\frac{ON}{CM}=\frac{1}{2}$;

$\frac{ON}{10}=\frac{1}{2}$;

ON = 10 : 2 = 5 (см) — расстояние от точки О до плоскости α.

б)

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на данную плоскостью.

AN — проекция наклонной AО на плоскость α.

Значит, искомый угол — это ∠ОАN.

Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2.

AC = АВ ∙ √2 = 20√2 (см).

АО равна половине диагонали, поэтому:

АО = 20√2 : 2 = 10√2 (см).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAN.

Синус ∠ОАN равен отношению противолежащего катета (ОN) к гипотенузе (АО), отсюда:

$sin \angle OAN = \frac{5}{10\sqrt{2} } =\frac{1}{2\sqrt{2}} .$

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на √2:

$sin \angle OAN =\frac{\sqrt{2}}{4} .$

∠ОАN = $arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} .$

_______________________

Ответ:

а) 5 см.

б) $arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} .$