Ответы
Даны вершины треугольника А(3;2), В(-1;5), С (6;-2).
1.1.а) Составим каноническое уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
( x - xa) / (xb - xa) = (y - ya) / (yb - ya).
Подставим в формулу координаты точек А и В:
( x - 3) / (-1 - 3)) = (y - 2) / (5 - 2).
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
(x - 3) / (-4) = (y - 2) / 3.
Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой в общем виде:
3x + 4у – 17 = 0.
б) Высота из точки А – это перпендикуляр АН к стороне ВС.
Аналогично получаем уравнение стороны ВС
ВС : (x + 1) / 7 = (y - 5) / (-7).
Или в общем виде х + у – 4 = 0.
У перпендикулярной прямой коэффициенты А и В общего уравнения Ax + By + C = 0 меняются на В и (-А) из условия, чтобы их произведение равнялось нулю: Ax * Вx + Аy * Вy = 0.
Получаем уравнение АН: х – у + С = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: 3 – 2 + С = 0, отсюда С = -1.
Уравнение АН: х – у - 1 = 0.
в) Находим координаты точки М – основания медианы АМ как середину стороны ВС.
М = (В(-1;5) + С (6;-2)) / 2 = (2,5; 1,5).
Вектор АМ = (2,5-3; 1,5-2) = (-0,5; -0,5).
Уравнение АМ: (x - 3) / (-0,5) = (y - 2) / (-0,5).
Или в общем виде х – у - 1 = 0.
Как видим, оно такое же, как и у высоты АН. Значит, треугольник равнобедренный. Высота и медиана из точки А совпадают, и точки Н и М тоже совпадают – пусть это будет точка М.
г) У прямой, в которой лежит средняя линия ЕК, напрвляющий вектор тот же, что и у параллельной прямой ВС(7; -7).
Находим координаты точки Е как середину стороны АВ.
Е = (А(3;2) + (В(-1;5)) / 2 = (1; 3,5).
Уравнение ЕК: (x - 1) / 7 = (y – 3,5) / (-7).
Или в общем виде 14х + 14у - 63 = 0.
д) Находим длину медианы АМ.
Вектор АМ = (-0,5; -0,5) по пункту 3.
|АМ| = √((-0,5)² + (-0,5)²) = √(0,25 + 0,25) = √0,5 ≈ 0,707107.
2.1. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох – это угловой коэффициент этой прямой: tg 30º = √3/3.
Уравнение прямой имеет вид: у = (√3/3)х + b.
Для определения слагаемого b подставим координаты точки М(-2; 5), через которую проходит прямая.
5 = (√3/3)*(-2) + b, отсюда получаем b = 5 + (2√3/3)
Уравнение прямой: у = (√3/3)х + 5 + (2√3/3).
3.1. Пусть прямая пересекает ось Оу в точке Т(у; 0).
Площадь треугольника с катетами, равным отрезкам на координатных прямых, равен:
30 = (1/2)*у*3, отсюда у = 30*2/3 = 20.
Уравнение прямой по двум точкам.
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
(x - xa)/(xb - xa) = (y - ya)/(yb - ya)
Подставим в формулу координаты точек:
(x - 0)/(3 – 0) = (y – 20)/(0 – 20)
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
x/3 = (y – 20)/(-20)
Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = (-20/3)x + 20.