Question

Постройте график функции f(x)=x интеграл 0(2t+8)dt. Найдите область значений этой функции

Answer 1

Ответ:

С помощью линейности интеграла и таблицы первообразных формально находим неопределенный интеграл

∫ (2t + 8)dt = ∫2tdt + 8 ∫dt = t² + 8t + C

По тереме Ньютона-Лейбница определённый интеграл от 0 до x (то есть наша функция f(x)) равен разности значений первообразной на границах интегрирования, то есть

f(x) = (x² + 8x + C) - (0² + 8*0 + C) = x² + 8x

График этой функции — парабола. Коэффициент перед квадратом > 0, стало быть, ветви вверх. Нули: x² + 8x = 0, то есть x = 0 и x = -8. Вершина параболы и она же по совместительству точка минимума — -8/2 = -4. Значение в минимуме (-4)² - 8*4 = -16. Теперь мы готовы строить график (см. картинку)

Соответственно, область значений — от минимума до плюс бесконечности, то есть [-16, +∞)