Question

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x - 3} = \sqrt[3]{12(x - 1)}$
помогите пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

1; 3

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим уравнение вида $\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{C}$

Возведём обе части уравнения в куб:

$A+3\sqrt[3]{A}^2\sqrt[3]{B}+3\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}^2+B=C$

Вынесем $3\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}$ за скобки:

$A+B+3\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B})=C$

Заметим, что в скобках получилась левая часть исходного уравнения. Значит, её можно заменить на правую часть. Получаем:

$A+B+3\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}\sqrt[3]{C}=C\\A+B+3\sqrt[3]{ABC}=C$

При этом обратное неверно. Если преобразовывать уравнение в обратную сторону, то получается, что замена $\sqrt[3]{C}=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}$ взялась из ниоткуда. Значит, преобразование не равносильно, корней может получиться больше, чем должно. Их нужно будет проверить.

Теперь рассмотрим уравнение наше уравнение:

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}=\sqrt[3]{12(x-1)}$

В соответствии с приведёнными выше преобразованиями получаем:

$x+2x-3+3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)}=12(x-1)\\3x-3+3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)}=12(x-1)\\3(x-1)+3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)}=12(x-1)\\3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)}=9(x-1)\\\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)}=3(x-1)\\12x(2x-3)(x-1)=27(x-1)^3\\4x(2x-3)(x-1)=9(x-1)^3\\9(x-1)^3-4x(2x-3)(x-1)=0\\(x-1)(9(x-1)^2-4x(2x-3))=0\\(x-1)(9x^2-18x+9-8x^2+12x)=0\\(x-1)(x^2-6x+9)=0\\(x-1)(x-3)^2=0\\x=1;3$

Проверим полученные корни:

x = 1

$\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{2-3}=\sqrt[3]{12(1-1)}\\1-1=0$

Верно, x = 1 является корнем уравнения.

x = 3

$\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2\cdot 3-3}=\sqrt[3]{12\cdot(3-1)}\\2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{24}\\\sqrt[3]{8\cdot 3}=\sqrt[3]{24}\\\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{24}$

Верно, x = 3 является корнем уравнения.