Question

Задача решить параметр.
Я вроде как его решил, но не уверен в правильности решения поэтому как то так.

Answer 1

Ответ: $(-\infty; -4.5) \cup \{-2; 0\} \cup (0.5; +\infty)$

Пошаговое объяснение:

$((a+2)x^2-5x)^2+4((a+2)x^2-5x)+4-a^2=0\\((a+2)x^2-5x+2)^2=a^2\\\left[\begin{gathered}(a+2)x^2-5x+2-a=0 \; (1)\\(a+2)x^2-5x+2+a=0 \; (2)\end{gathered}$

Если $a+2=0 \Leftrightarrow a=-2$

$\left[\begin{gathered}-5x+4=0\\-5x=0 \hfill\end{gathered}\left[\begin{gathered}x=0.8\\x=0 \hfill\end{gathered}$

Уравнение имеет два решения, значит $a=-2$ подходит

Если $a+2\ne0 \Leftrightarrow a\ne-2$, то в совокупности два квадратных уравнения

Тогда, либо их корни должны совпадать, что произойдет в случае, когда совпадают уравнения, т.е. при $a=0$, убедимся, что корни есть $2x^2-5x+2=0; \; D=25-15=9>0$

Либо одно из них имеет единственный корень, который совпадает с одним из двух корней другого, что невозможно, поскольку у этих уравнений совпадает сумма корней (по т. Виета она равна 5/(a+2))

Также подходят все значения параметра, при котором одно из них имеет 2 корня, а другое не имеет решений

Поскольку $D_1>0 \; \forall a \in \mathbb{R}$, то оно всегда имеет 2 корня, найдем при каких значениях параметра уравнение (2) не имеет корней
$D_2<0 \Leftrightarrow (a+2)^2-6.25>0 \Leftrightarrow (a-0.5)(a+4.5)>0 \Leftrightarrow a \in (-\infty; -4.5) \cup (0.5; +\infty)$

Итого получим, что уравнение имеет два решения при $a \in (-\infty; -4.5) \cup \{-2; 0\} \cup (0.5; +\infty)$