Question

$\sqrt{85}$
найти корень 85, помогите пожалуйста даю 10 баллов ​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

$f(x)=\sqrt{x},\;f^{(n)}(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{2}-n+1\right)\cdot x^{\frac{1}{2}-n}$

$x=85,\;x_0=81,\;n=2$

$\sqrt{x}\approx9+\dfrac{x-81}{18}-\dfrac{(x-81)^2}{5832}\approx9.2195$

$R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\epsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ $\epsilon$ между $x_0$ и $x$

$R_2(x)=\dfrac{f^{(3)}(\epsilon)}{6}(x-81)^{3},\;\epsilon\in(81,\;85)$

$f^{(3)}(\epsilon)=\dfrac{3}{8\epsilon^\frac{5}{2}}<\dfrac{3}{8\times81^\frac{5}{2}}=\dfrac{1}{157464}$

$\left|R_2(x)\right|\le\dfrac{(85-81)^3}{6\cdot157464}=4\cdot3^{-10}<10^{-4}$

Задание выполнено!