Question

Решите уравнение:
$( \sqrt{3 + \sqrt{8} } ) {}^{x} + ( \sqrt{3 - \sqrt{8} } ) {}^{x} = 34$
​

Answer 1

Так как $(3+\sqrt{8}) (3-\sqrt{8})=1$. то

$3-\sqrt{8}=\frac{1}{3+\sqrt{8}}}$

Замена переменной

$(\sqrt{3+\sqrt{8}})^{x}=t\\\\\\(\sqrt{ 3-\sqrt{8}})^{x}=\frac{1}{t}$

Получаем квадратное уравнение:

$t+\frac{1}{t}=34$

$t\neq 0$

$t^2-34t+1=0$

D=(-34)²-4=1156-4=1152=144·8

$t_{1}=\frac{34-12\sqrt{8}}{2}\\\\t_{1}=17-6\sqrt{8}$        $t_{2}=\frac{34+12\sqrt{8}}{2}\\\\t_{2}=17+6\sqrt{8}$

Обратный переход:

$(\sqrt{ 3+\sqrt{8}})^{x}=17-6\sqrt{8}$                 или $(\sqrt{ 3+\sqrt{8}})^{x}=17+6\sqrt{8}$

$(3+\sqrt{8}})^{\frac{x}{2}}=(3-\sqrt{8})^2$                 или $( 3+\sqrt{8})^{\frac{x}{2}}=(3+\sqrt{8})^2$

$(3+\sqrt{8}})^{\frac{x}{2}}=(\frac{1}{3+\sqrt{8}}})^2$

$(3+\sqrt{8}})^{\frac{x}{2}}=(3+\sqrt{8}})^{-2}$

$\frac{x}{2}=-2$                                          или                         $\frac{x}{2}=2$

$x=-4$                                          или                         $x=4$

О т в е т. ±4