Question

Петя взял натуральное число а, возвел его в квадрат, прибавил 49, отнял от суммы 14а. У него получилось удивительное число в десятичной записи которого оказались в каком-то порядке только нули и 2022 единицы. Не ошибся ли Петя? Пожалуйста срочно решите!!!

Answer 1

Запишем число, полученное Петей:

$a^2+49-14a$

Воспользовавшись формулой квадрата разности, преобразуем:

$a^2+49-14a=a^2-2\cdot a\cdot7+7^2=(a-7)^2$

Известно, что это число состоит из некоторого количества нулей и 2022 единиц. То есть, сумма цифр этого числа равна 2022.

По признаку делимости на 3, так как сумма цифр, то есть число 2022, делится на 3, то и само число должно делиться на 3.

$(a-7)^2\ \vdots\ 3$

По-другому:

$(a-7)(a-7)\ \vdots\ 3$

Если произведение делится на некоторый простой множитель, то какой-то из сомножителей делится на этот простой множитель.

Учитывая, что сомножители равны, то:

$(a-7)\ \vdots\ 3$

Но так как в произведении $(a-7)^2$ встречается два сомножителя $(a-7)$, каждый из которых должен делиться на 3, то такое произведение уже должно делиться на $3\cdot3=9$.

Но, возвращаясь к сумме цифр числа, отметим, что 2022 не делится на 9. Значит, $(a-7)^2$ не делится на 9.

Необходимое условие не выполняется. Значит, Петя ошибся.

Ответ: Петя ошибся