Question

Из Ярославля в Рыбинск отправился поезд с пассажирами. По пути он останавливался на 6 станциях, на которых в поезд никто не садился, зато выходила третья часть пассажиров. После всех этих станций поезд доехал до Рыбинска, где из него вышли все оставшиеся пассажиры — их было меньше 100. А сколько пассажиров село в поезд в Ярославле?

Answer 1

Ответ:

В Ярославле в поезд вошли 729 пассажиров.

Объяснение:

Из Ярославля в Рыбинск отправился поезд с пассажирами, который в пути он останавливался на 6 станциях. На станциях в поезд никто не садился, а выходила третья часть пассажиров. После всех станций поезд доехал до Рыбинска, где из него вышли оставшиеся пассажиры, которых было меньше 100. Определить, сколько пассажиров село в поезд в Ярославле?

1) Обозначим число пассажиров, севших в поезд в Ярославле, как x (x - целое число, x > 0).

На первой станции:

вышли $\displaystyle \frac {x}{3}$ пассажиров;

осталось число пассажиров  $\displaystyle x - \frac{x}{3} = \frac {2x}{3}$.

На второй станции:

вышли  $\displaystyle \frac {2x}{3} \cdot \frac {1}{3} = \frac {2x}{9}$ пассажиров;

осталось число пассажиров:
$\displaystyle \frac {2x}{3} - \frac{2x}{9} = \frac {6x-2x}{9} =\frac {4x}{9}.$

На третьей станции:

вышли   $\displaystyle \frac {4x}{9} \cdot \frac {1}{3} = \frac {4x}{27}$  пассажиров;

осталось число пассажиров:
$\displaystyle \frac {4x}{9} - \frac{4x}{27} = \frac {12x-4x}{27} =\frac {8x}{27}.$

2) Составим ряд оставшихся пассажиров, и увидим закономерность.

1 ст. - осталось пассажиров $\displaystyle x \cdot \frac {2}{3};$

2 ст. - осталось пассажиров  $\displaystyle \frac {4x}{9 }= x \cdot \bigg( \frac{2}{3} \bigg)^{2};$

3 ст. - осталось пассажиров  $\displaystyle \frac {8x}{27}= x \cdot \bigg ( \frac{2}{3} \bigg)^{3}$

• Числовая последовательность, в которой каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
• n-1 член геометрической прогрессии bₙ=b₁ · qⁿ⁻¹, n∈ Z.

Число оставшихся пассажиров представляет собой геометрическую прогрессию, в которой первый член  b₁ = x, знаменатель прогрессии $\displaystyle q = \frac{2}{3}$.

3) Шестая станция соответствует седьмому члену геометрической прогрессии, так как первому соответствует Ярославль, а потом еще идут шесть станций.

$\displaystyle b_{7}=x \cdot \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^6 = \frac{x \cdot 2^{6}}{3^{6}}= \frac{64x}{729}$

4) Число пассажиров, оставшихся на 6-той станции меньше 100, именно они вышли в Рыбинске.

$\displaystyle \frac{64x}{729} <100;\\\\\\x < \frac{100 \cdot 729}{64}$

x < 1139,0625.

5) Что мы знаем про число x:

x > 0, x - целое число, x < 1139,0625, следовательно x ≤ 1139.

А также, известно, что x шесть раз делится на 3, значит оно кратно 3⁶, то есть числу 729.

Число, меньше 1139 и кратное 729 - это само число 729, так как

729 * 2 = 1458,

но  1458 > 1139.

Значит в Ярославле в поезд вошли 729 пассажиров.

Для проверки расчет пассажиров на каждой станции приведен во вложенном файле.