Question

Можно решение с подробным объяснением?

5sin^2x+√3sinx cosx + 6cos^2x=5

Answer 1

Обобщим уравнение, решив общий случай. Дано уравнение вида

$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$

Заметим, что за знаком равно коэффициент равен 1, следовательно, применим основное тригонометрическое тождество

$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d\sin^2x+d\cos^2x$

Приведём подобные

$(a-d)\sin^2x+b\sin x\cos x+(c-d)\cos^2x=0$

Заметим, что $\cos x=0$ дает решение тогда и только тогда, когда $a-d=0$, и в этом случае мы имеем

$\cos x(b\sin x+(c-d)\cos x)=0$

Если $a-d\neq 0$, то поделим всё на $\cos^2 x$ :

$(a-d)\mathrm{tg}^2x+b\mathrm{tg}+c-d=0$

Что является квадратным уравнением!

Распространяя на наш случай, мы можем заметить, что всё сокращается и сводится к вынесению общего множителя

$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5\sin^2 x+5\cos^2 x\\\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2x =0\Rightarrow \cos x\left ( \sqrt{3}\sin x+\cos x \right )=0\\\cos x\left ( \sqrt{3}\mathrm{tg}+1 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ \frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{5\pi}{6}+\pi k \right \}, \; k\in \mathbb{Z}$