Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями(пожалуйста, понятно и подробно) ​

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной линиями равна $\displaystyle (6-6\;ln\frac{3}{2})$ (ед.²)

Пошаговое объяснение:

Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} y=\frac{6}{x} \\y=1+x \\x=3 \end{cases}\end{equation*}$

Площадь фигуры вычислим по формуле:

$\displaystyle \boxed { S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx }$

Построим графики и определим фигуру, площадь которой надо вычислить.

1. $\displaystyle y=\frac{6}{x}$

- функция обратной пропорциональности, график - гипербола, расположена в 1 и 3 четвертях.

Возьмем несколько точек:

x = 1; y = 6;

x = 2; y = 3;

x = 3; y = 2;

x = 6; y = 1.

Строим ветвь гиперболы, вторую строим симметрично начала координат.

2. y = 1 + x

- линейная функция, график прямая.

Достаточно двух точек:

х = 0; у = 1;

х = 2; у = 3.

Строим график.

3. х = 3

- прямая, параллельная оси 0у.

4. Найдем точки пересечения первых двух графиков:

$\displaystyle \frac{6}{x} =1+x\;\;\;|\cdot{x},\;x\neq 0\\\\6=x+x^2\\\\x^2+x-6=0$

По теореме Виета:

х₁ = 2; х₂ = -3

5. Нашли искомую фигуру, ограниченную данными линиями:

Сверху: f₂(x) = 1 + x

Снизу: $\displaystyle f_1(x)=\frac{6}{x}$

Слева: a = 2

Справа: b = 3

6. Теперь можем найти площадь:

$\displaystyle S=\int\limits^3_2 {(1+x-\frac{6}{x}) } \, dx =(x+x^2-6ln|x|)\;\bigg|^3_2=\\\\=(3+9-6ln3)-(2+4-6ln2)=12-6ln3-6+6ln2=\\\\=6-6\;ln\frac{3}{2}$

Площадь фигуры, ограниченной линиями равна $\displaystyle (6-6\;ln\frac{3}{2})$ (ед.²)