Question

Какой будет первообразная 4|x|?

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\dfrac{x \cdot |x|}{2} + C}$

Объяснение:

Первообразная это такая функция $F(x)$ производная которой дает $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной воспользуемся интегралом:

$F(x) = \displaystyle \int {f(x)} \, dx$

$F(x) = \displaystyle \int {4|x|} \, dx = 4 \int {|x|} \, dx$

Найдем интеграл $\displaystyle \int {|x|} \, dx$

По определению модуля:

$|x| = \left \{\begin{array}{l} x, x > 0 \\ 0, x =0 \\ -x, x < 0\end{array} \right.$

1) x > 0

$\displaystyle \int {|x|} \, dx = \displaystyle \int {x} \, dx = \dfrac{x^{2} }{2} + C$

2) x = 0

$\displaystyle \int {|x|} \, dx = \displaystyle \int {0 \cdot } \, dx = C$

3) x < 0

$\displaystyle \int {|x|} \, dx = \displaystyle \int {-x} \, dx = - \int {x} \, dx= -\dfrac{x^{2} }{2} + C$

Функция сигнум(знака):

$\rm {sgn}\ x={\begin{cases}\ \ 1,&x > 0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x < 0\end{cases}}$

Тогда $\rm |x| = x \cdot sgn \ x$

$\rm \displaystyle \int {|x|} \, dx = \dfrac{x^{2}}{2} \cdot sgn\ x + C = \dfrac{x \cdot |x|}{2} + C$

$F(x) = \dfrac{x \cdot |x|}{2} + C$