Однородный диск радиуса 0,1 м, катящийся без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью 5 м/с, попадая на наклонный участок, поднимается на высоту?
Ответы
Основная идея этой задачи состоит буквально в следующем:
1. Мгновенный центр вращения в каждый момент времени - точка касания диска и земли (действительно, относительно земли только она остается в покое, пусть даже на бесконечно маленький промежуток времени).
2. Диск вращается твердотельно, т.е. угловые скорости всех точек диска равны между собой.
Итак, в данный момент времени (который на картинке), качение диска можно эквивалентно заменить на его вращение вокруг точки А. Пишем:
\vec v=\vec \omega\times \vec r
v
=
ω
×
r
(определение)
Поскольку нас волнует только модуль скорости и диск движется только в одной плоскости, на векторное произведение мы можем спокойно забить и писать уравнения для модуля поступательной скорости:
v=\omega \cdot rv=ω⋅r ,
здесь r - расстояние от центра вращения до точки, в которой нужно посчитать скорость.
Итак,
для центра: v_O= \omega R; \boxed {R=\frac v \omega}v
O
=ωR;
R=
ω
v
для т. С: v_C=\omega\cdot 2R=2vv
C
=ω⋅2R=2v
для т-к B и D: v_B=v_D=\omega\cdot \sqrt 2 R=v \sqrt 2v
B
=v
D
=ω⋅
2
R=v
2
С точкой Е чуть-чуть сложнее.
Заметим, что треугольник AOE - равнобедренный, тогда сторона AE равно радиусу диска. Таким образом, v_E=\omega r=v_ .
Отвечая на второй вопрос, потребуем, чтобы поступательная скорость движения некоторых точек диска была равна скорости центра:
u=\omega r^*u=ωr
∗
Теперь заметим, что в левой части скорость обязана быть постоянной (по условию) и в правой части угловая скорость также постоянная (так как диск - твердое тело). В таком случае, и радиус тоже должен быть постоянным и равным радиусу диска (r^*=\frac {v_O}{\omega}=Rr
∗
=
ω
v
O
=R ).
Теперь становится очевидным, что геометрическое место точек диска, движущихся со скоростью его центра - это дуга окружности радиусом, равным радиусу диска с центром в точке его касания с землей и, как легко показать, величиной в 120 градусов.