а) В клетчатом квадрате n × n закрасили все клетки на главной диагонали и все клетки, лежащие ниже главной диагонали. Сколько всего клеток было закрашено?
б) На плоскости проведено n прямых. Никакие две из них не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей эти прямые делят плоскость?
в) Коля рисует на клетчатой бумаге пирамидку: в первом сверху ярусе одна клетка, во втором — три, в третьем — пять, в четвёртом — семь, и так далее. Сколько всего клеточек будет в первых 20 ярусах пирамидки?
Указание. Подумайте, как эта задача связана с предыдущей.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
а) В квадрате 2х2 будет закрашена диагональ длиной 2 клетки и ещё 1 клетка под ней. Всего 2 + 1 = 3 клетки.
В квадрате 3х3 будет закрашена диагональ длиной 3 клетки и ещё 2 + 1 = 3 клетки под ней. Всего 3 + 2 + 1 = 6 клеток.
Можно сделать вывод, что в квадрате nxn будет закрашено:
n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 = n(n+1)/2 = (n^2 + n)/2 клеток.
б) Очевидно, что все прямые пересекаются каждая со всеми остальными, и в каждой точке пересекается только 2 прямых.
1 прямая делить плоскость на 2 части. Вторая прямая делит каждую из частей на 2 части, получается 4.
Треться прямая делит 3 области и добавляет ещё 3 части.
Получается 4 + 3 = 7 частей.
И так далее. Каждая прямая добавляет столько частей, сколько есть прямых.
4-ая прямая делит плоскость на 11 частей, 5-ая на 16 частей, и т.д.
Всего n прямых делят плоскость на n(n+1)/2 + 1 = (n^2 + n + 2)/2 частей.
в) В 1 ярусе 1 клетка. Во 2-ом ярусе 3 клетки.
Всего в двух ярусах 1 + 3 = 4 = 2^2 клетки.
В 3 ярусе 5 клеток. Всего в трех ярусах 4 + 5 = 9 = 3^2 клеток.
И так далее. В пирамиде из n ярусов будет n^2 клеток.
В пирамиде из 20 ярусов будет 20^2 = 400 клеток.