Question

Помогите пожалуйста, тема геометрическая прогрессия

Answer 1

Ответ:

$\sum = \frac{24}{55}$

Пошаговое объяснение:

Представим сумму как:
$\sum = \frac{3}{5} +\frac{3}{20} +...-\frac{4}{9} -\frac{4}{27} -...+\frac{5}{11} -\frac{5}{22} +...$

Видим три прогрессии:

$1:\frac{3}{5} ;\frac{3}{20} \\ 2 :-\frac{4}{9};-\frac{4}{27} \\3:\frac{5}{11} ;-\frac{5}{22}$

Найдем частное каждой прогрессии использую формулу $q=b_{n+1}/b_n$:
$q_1=\frac{1}{4} ;b_{1[1]}=\frac{3}{5} \\ q_2=\frac{1}{3} ;b_{1[2]}=-\frac{4}{9} \\q_3=-\frac{1}{2} ;b_{1[3]}=\frac{5}{11}$

Используя формулу суммы для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S=\frac{b_1}{1-q}$, получим следующее:

$\sum = S_{[1]}+S_{[2]}+S_{[3]}\\\sum =\frac{b_{1[1]}}{1-q_{[1]}} + \frac{b_{1[2]}}{1-q_{[2]}} + \frac{b_{1[3]}}{1-q_{[3]}} \\\sum = \frac{\frac{3}{5} }{1-\frac{1}{4} } +\frac{-\frac{4}{9} }{1-\frac{1}{3} } +\frac{\frac{5}{11} }{1+\frac{1}{2} } \\\sum = \frac{4}{5} -\frac{2}{3} +\frac{10}{33} \\\sum = \frac{24}{55}$