Question

В треугольнике ABC отмечена точка K, в которой сторона AC пересекается с серединным перпендикуляром к стороне AB. Оказалось, что AK=BC+CK. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Answer 1

Точка K на серединном перпендикуляре к AB, следовательно равноудалена от концов отрезка, AK=BK.

Тогда по условию BK=BC+CK.

В треугольнике BCK сумма двух сторон равна третьей стороне - треугольник вырожденный, точки B-C-K лежат на одной прямой.

(Или можно сказать, что расстояние между конечными точками ломаной B-C-K равно длине ломаной => ломаная вырожденная, точки B-C-K на одной прямой.)

По условию точка K лежит на отрезке AC. Несовпадающие прямые AC и BC могут иметь только одну общую точку, следовательно точки K и С совпадают.

Тогда вершина С лежит на серединном перпендикуляре к основанию AB, AC=BC, △ABC - равнобедренный.