Question

Помогите с геомой!
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамиды проходит через точку D; M-середина ребра SC; Угол между прямыми AM и BC равен 60 градусов.
a) Докажите что SD:CD = корень из 11
б) Найдите расстояние до точки D до плоскости ABS, если сторона остования пирамиды равна 4 корней из 33. С РИСУНКОМ

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\rho(D,ABS) = 22}$

Объяснение:

Дано: SABCD - пирамида, ABCD - квадрат , SD ⊥ ABC, ∠(AM,BC) = 60°, $AD = 4\sqrt{33}$, SM = MC

Доказать: $SD:CD = \sqrt{11}$

Найти: $\rho(D,ABS) \ - \ ?$

Решение:

По теореме если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не принадлежит первой прямой, то данные прямые скрещивающиеся, так как $BC \subset ABC$ и $(AM \cap ABC) \notin BC$прямые AM и BC -  cкрещивающиеся.

По определению угол между скрещивающимися прямыми это угол между прямыми которые пересекаются и соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Так как по условию ABCD - квадрат, то по свойствам квадрата его противоположные стороны параллельны, тогда BC║AD. Так как BC║AD и прямые AM и DA имеют общую точку A, то по определению угла между скрещивающимися прямыми:

∠(AM,BC) = ∠(AM,AD) = 60°.

По теореме если прямая перпендикулярна к двум прямым, которые лежат в этой плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна к этой плоскости, тогда AD ⊥ SCD, так как по условию ABCD квадрат, то по определению квадрата все его углы равны 90°, то есть

AD ⊥ CD и по условию SD ⊥ ABC, тогда по определению перпендикулярности прямой к плоскости, так как AD ⊂ ABC, то

SD ⊥ AD и CD ∩ SD = D.

Проведем отрезок MD.

По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как AD ⊥ SCD и MD ⊂ SCD, то AD ⊥ MD, следовательно треугольник ΔMAD - прямоугольный.

По определению угол между прямыми принадлежит промежутку от 0° до 90° включительно, так как треугольник треугольник ΔMAD - прямоугольный, то угол ∠MAD < 90°, тогда ∠(AM,AD) = ∠MAD = 60°.

Пусть AD = x, тогда ВС = DC = AB = x, так как по свойствам квадрата все его стороны равны и по условию ABCD - квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMAD :

$\rm tg \ \angle MAD = \dfrac{MD}{AD} \Longrightarrow MD = AD \cdot tg \ \angle MAD = x \cdot tg \ 60^{\circ} = x\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSCD (SD ⊥ CD). Так как по условию SM = MC, то по определению MD - медиана. По свойствам прямоугольного треугольника медиана проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть CM = MS = MD = $x\sqrt{3}$.

По основному свойству отрезка:$CS = CM + MS = x\sqrt{3} + x\sqrt{3} = 2x\sqrt{3}$.

По теореме Пифагора:

$SD = \sqrt{CS^{2} - CD^{2}} = \sqrt{(2x\sqrt{3} )^{2} - x^{2}} = \sqrt{12x^{2} - x^{2} } = \sqrt{11x^{2} } =x\sqrt{11}$.

$\dfrac{SD}{CD} = \dfrac{x\sqrt{11} }{x} = \sqrt{11} \Longleftrightarrow SD : CD = \sqrt{11}$.

По теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ AB, так как AD ⊥ AB (по определению квадрата (ABCD) все его углы равны 90° ), SD ⊥ AD и отрезок AD - проекция отрезка AS на плоскость ABC в прямоугольном треугольнике ΔSAD.  

Так как A ∈ (SAB,SAD) и S ∈ (SAB,SAD), то по аксиоме стереометрии плоскость SAD ∩ SAB = AS.

По теореме если прямая перпендикулярна к двум прямым, которые лежат в этой плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна к этой плоскости, тогда AB ⊥ DAS, так как по условию по условию ABCD квадрат, то по определению квадрата все его углы равны 90°, то есть AB ⊥ DA и по теореме о трех перпендикулярах AB ⊥ AS и

AD ∩ SA = A.

По теореме если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны, так как AB ⊥ DAS и AB ⊂ SAB, то SAD ⊥ SAB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSAD (SD ⊥ AD). Из точки D проведем высоту к гипотенузе в точку K, то есть DK ⊥ AS.

По теореме если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярна к прямой пересечения плоскостей, является перпендикулярной ко второй плоскости, тогда так как SAD ⊥ SAB, SAD ∩ SAB = AS и DK ⊥ AS по построению, то DK ⊥ SAB.

По определению расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр проведенной от этой точки к данной плоскости, тогда $\boxed{\rho(D,ABS) = DK}$, так как DK ⊥ SAB.

Так как x = AD, то по условию $x = 4\sqrt{33}$, тогда:

$SD = x\sqrt{11} = 4\sqrt{33} \cdot \sqrt{11} = 44\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSAD.

По теореме Пифагора: $AS = \sqrt{AD^{2} + SD^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{33})^{2} + (44\sqrt{3} )^{2}} = \sqrt{528 + 5808} = \sqrt{6336} =$

$= 24\sqrt{11} .$

По формулам площади для треугольника ΔSAD составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{ S_{зABC} = \dfrac{AD \cdot SD}{2} } \atop {S_{зABC} = \dfrac{KD \cdot AS}{2}}} \right \Longrightarrow \boxed{\dfrac{AD \cdot SD}{2} = \dfrac{KD \cdot AS}{2}}$

$\dfrac{AD \cdot SD}{2} = \dfrac{KD \cdot AS}{2} \bigg |\cdot 2$

$AD \cdot SD = KD \cdot AS \Longrightarrow KD = \dfrac{AD \cdot SD}{AS} = \dfrac{4\sqrt{33} \cdot 44\sqrt{3}}{24\sqrt{11} } = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot 44\sqrt{3}}{24\sqrt{11}} =$

$= \dfrac{4 \cdot 44 \cdot 3}{4 \cdot 6} = \dfrac{11 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 11 \cdot 2 = 22$.