Question

Задание 5 (30 баллов).
Дано (см. рисунок) АВ = DC, BE = CE. Точка F - точка пересечения прямых AC и BD. Докажмите, что FE - биссектриса угла AED. ​

Answer 1

${}$

Существует много разных способов решить эту задачу. Например, можно воспользоваться теремой Чевы. Или рассмотреть симметрию относительно биссектрисы угла AED. Но мы постараемся сделать ее совсем простым способом.

Треугольники  ACE и DBE равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому равны углы EAC и EDB. И углы ACE и CBE равны. А тогда и смежные к ним углы ACD и DBA равны. Поэтому треугольники ABF и DCF равны по по стороне и двум углам. Что позволяет утверждать равенство отрезков BF  и CF. И, наконец, треугольники EBF и ECF равны по трем сторонам. Значит, равны углы BEF и CEF, что и означает, что EF - биссектриса угла  AED.