Question

Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

Answer 1

Ответ:

а) $\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C$

б) $\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C$

в) $-5\ln{|x-1|}+3\ln{|x-4|}+C$

Пошаговое объяснение:

а) Заметим, что $d(arctg2x)=\dfrac{2dx}{1+4x^2}$. Тогда:

$\displaystyle \int \dfrac{\sqrt[3]{arctg{2x}}}{1+4x^2} dx =\dfrac{1}{2}\int \sqrt[3]{arctg2x}\cdot \dfrac{2dx}{1+4x^2}=\dfrac{1}{2}\int\sqrt[3]{arctg2x}d(arctg2x)=\\=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C=\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C$

Проверка: $\left(\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C\right)'=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot(arctg2x)^{\frac{1}{3}}\cdot \dfrac{2}{1+4x^2}=\dfrac{\sqrt[3]{arctg2x}}{1+4x^2}$

б) $\displaystyle \int (x-7)\cos{2x}dx$

Пусть $u=x-7,dv=\cos{2x}dx$. Тогда $du=dx,v=\dfrac{1}{2}\sin{2x}$. Воспользуемся методом интегрирования по частям:

$\displaystyle \int (x-7)\cos{2x}dx=\dfrac{1}{2}(x-7)\sin{2x}-\int \dfrac{1}{2}\sin{2x}dx=\\=\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C$

Проверка: $\left(\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C\right)'=\dfrac{\sin{2x}+2(x-7)\cos{2x}}{2}-\dfrac{2\sin{2x}}{4}=\\=\dfrac{\sin{2x}}{2}+(x-7)\cos{2x}-\dfrac{\sin{2x}}{2}=(x-7)\cos{2x}$

в) $\displaystyle \int \dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}dx$

Разложим дробь на простейшие:

$\dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}=\dfrac{17-2x}{(x-1)(x-4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-4}=\dfrac{A(x-4)+B(x-1)}{(x-1)(x-4)}$

Найдём коэффициенты разложения методом частных значений.

При x = 1: $A(1-4)+B(1-1)=17-2\cdot 1\Leftrightarrow-3A=15\Leftrightarrow A=-5$

При x = 4: $A(4-4)+B(4-1)=17-2\cdot 4\Leftrightarrow 3B=9\Leftrightarrow B=3$

Тогда $\dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}=-\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{x-4}$

$\displaystyle \int \dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}dx=\int\left(-\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{x-4}\right)dx=-5\int \dfrac{dx}{x-1}+3\int\dfrac{dx}{x-4}=\\=-5\ln{|x-1|}+3\ln{|x-4|}+C$