Question

Демо задание 1-3
Номер 2

Answer 1

Ответ:

$O(0;0;0)\ ,\ A(2,0,-1)\ ,\ B(-1,2,0)\ ,\ C(0;-1;2)$

1) Уравнение плоскости ABC, проходящей через три точки имеет вид:

   $\left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{array}\right|=0$  

Пусть первая точка - точка А, вторая - В , третья - С .

$\left|\begin{array}{ccc}x-2&y&z+1\\-1-2&2&0+1\\0-2&-1&2+1\end{array}\right|=0\ \ \ ,\ \ \ \left|\begin{array}{ccc}x-2&y&z+1\\-3&2&1\\-2&-1&3\end{array}\right|=0\ \ \ ,\\\\\\7(x-2)+7y+7(z+1)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 7x+7y+7z-7=0\ \ ,\ \ x+y+z-1=0$

Уравнение пл. АВС :  $\boxed{\ x+y+z-1=0\ }$  .

Для удобства построения плоскости запишем это уравнение как уравнение плоскости в отрезках    $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$  , где  a , b , c - отрезки, отсекаемые плоскостью на соответствующих осях координат . Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях OХ, OУ и OZ соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях.

$x+y+z-1=0\ \ \Rightarrow \ \ \ x+y+z=1\ \ ,\ \ \ \dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{1} =1$

На осях ОХ , ОУ , OZ плоскость отсекает отрезки , равные 1 . Плоскость схематически построена на рис.1 .

2) Уравнение прямой АВ .

Найдём координаты направляющего вектора ВА :  

$\overline {BA}=(2+1;0-2;-1-0)=(3;-2;-1)$

Канонические уравнения прямой АВ :  $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}$  .

Запишем уравнение прямой АВ в параметрическом виде : $\boxed{\ \left\{\begin{array}{l}x=3t+2\\y=-2t\\z=-t-1\end{array}\right\ }$  

Запишем уравнение прямой АВ как пересечение двух плоскостей:

$\left\{\begin{array}{l}-2(x-2)=3y\\-(x-2)=3(z+1)\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}-2x+4=3y\\-x+2=3z+3\end{array}\right\ \ \boxed{\ \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4=0\\x+3z+1=0\end{array}\right\ }$   .

3)  Длина высоты h , проведённой из вершины О на пл. АВС .

Найдём сначала площадь плоскости АВС :  $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot \Big|\, [BA\times BC]\, \Big|$  .

$[BA\times BC]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-2&-1\\1&-3&2\end{array}\right|=-7\vec{i}-7\vec{j}-7\vec{k}\\\\\\\Big|\, [BA\times BC]\, \Big|=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2+(-7)^2}=7\sqrt3\\\\S_{ABC}=\dfrac{7\sqrt3}{2}=3,5\sqrt3$

Найдём объём тетраэдра по формуле:  $V_{ABCO}=\dfrac{1}{6}\cdot \Big|\, (OA,OB,OC)\, \Big|$  .

$(OA,OB,OC)=\left|\begin{array}{ccc}2&0&-1\\-1&2&0\\0&-1&2\end{array}\right|=2\cdot 4-1\cdot 1=8-1=7\\\\\\V_{ABCO}=\dfrac{1}{6}\cdot |\, 7\, |=\dfrac{7}{6}$

Так как объём пирамиды равен   $V=\dfrac{1}{3}\, S_{osnov}\cdot h$  ,  то   $h=\dfrac{3V}{S_{osnov}}$   .

$h=\dfrac{3\cdot \frac{7}{6}}{\frac{7\sqrt3}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\boxed{\ \dfrac{\sqrt3}{3}\ }$