Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ !!!
ПОМОГИТЕ ПЛЗ

Answer 1

Ответ:

а)

$\small \sin \large\tfrac{\alpha}{2} = \small\sqrt{ \frac{1}{8} \: } \\ \small\cos \large\tfrac{\alpha}{2} = - \small\sqrt{ \frac{7}{8} \: } \\\small \text{tg}\frac{ \alpha }{2} = - \sqrt{ \frac{1}{7} } \\ \small\text{ctg}\frac{ \alpha }{2}{ = \:} { - \sqrt{ {7 }} }$

б)

$\small \sin \large\tfrac{\alpha}{2} = \small\sqrt{ \frac{4}{5} \: } = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \\ \small\cos \large\tfrac{\alpha}{2} = - \small\sqrt{ \frac{1}{5} } = - \frac{\sqrt{5} }{ 5} \\\small \text{tg}\frac{ \alpha }{2} = -2 \\ \small\text{ctg}\frac{ \alpha }{2}{ = \:} { - \frac{1}{2} }$

в)

$\small \sin \large\tfrac{\alpha}{2} = \small{ \frac{7 \sqrt{2} }{10} \: } \\ \small\cos \large\tfrac{\alpha}{2} = \small{ \frac{\sqrt{2}}{10} \: } \\\small \text{tg}\frac{ \alpha }{2} = 7 \\ \small\text{ctg}\frac{ \alpha }{2}{ =} \frac{1}{7}$

Объяснение:

а)

Дано:

$\cos \alpha = \frac{3}{4} ;\,\; \frac{3 \pi}{2} < \alpha < 2 \pi$

Найти:

$\sin\frac{ \alpha }{2} ;\,\; \cos \frac{ \alpha}{2} ;\,\; \text{tg}\frac{ \alpha }{2} ;\,\; \text{ctg}\frac{ \alpha }{2} - \: {?} \,\;$

Решение

$\frac{3 \pi}{2} < \alpha < 2 \pi \: \: = > \: \: \frac{3 \pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$

т.е. имеем, что $\alpha$ находится в IV четверти координатной плоскости; тогда как $\small \dfrac{ \alpha }{2}$ - во II четверти, а следовательно:

$\sin\frac{ \alpha }{2}{ > }0 ;\,\cos \frac{ \alpha}{2}{ < }0 ; \;\text{tg}\frac{ \alpha }{2}{ < }0 ; \: \text{ctg}\frac{ \alpha }{2} {< }0\,\;$

Т.к. нам известно значение целого угла, cos α, через него можно выразить тригонометрические функции половинного угла.

Выразим и найдем значение для $\sin\small\dfrac{\alpha}{2}$ и $\cos\small\dfrac{\alpha}{2}$

$\small \sin^{2} \large\tfrac{\alpha}{2} \small = \frac{1- \cos \ \alpha }{2} ;\,\; \small \sin \large\tfrac{\alpha}{2} \small > 0 = > \\ = > \: \sin \large\tfrac{\alpha}{2} = \small \sqrt{ \frac{1- \cos \ \alpha }{2} \: } \\ \sin \large\tfrac{\alpha}{2} = \small \sqrt{ \frac{1-\large \frac{3}{4} }{2} \: } = \sqrt{ \frac{1}{8} \: } \\ \\ \small \cos^{2} \large\tfrac{\alpha}{2} \small = \frac{1 + \cos \ \alpha }{2} ;\,\; \small \cos \large\tfrac{\alpha}{2} \small < 0 \: \: = > \\ = > \: \: \: \cos \large\tfrac{\alpha}{2} = - \small \sqrt{ \frac{1 + \cos \ \alpha }{2} \: } \\ \cos \large\tfrac{\alpha}{2} = - \small \sqrt{ \frac{1{ +} \large \frac{3}{4} }{2} \: } = - \sqrt{ \frac{7}{8} \: } \: \: \:$

Используя то, что тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу, а котангенс - отношению косинуса этого угла к синусу, получаем:

$\text{tg}\frac{ \alpha }{2} = \frac{\sin \large\tfrac{\alpha}{2}}{\cos \large\tfrac{\alpha}{2}} ,\;\,\text{tg}\frac{ \alpha }{2} = \frac{ {\sqrt{ \frac{1}{8}}}}{{{ - }\sqrt{ \frac{7}{8}}}} = - \sqrt{ \frac{1}{7} } \\ \text{ctg}\frac{ \alpha }{2}{ = \: } \frac{\cos \large\tfrac{\alpha}{2}}{\sin \large\tfrac{\alpha}{2}} { = \: }\frac{1}{\text{tg} \large\frac{ \alpha }{2} } ,\; \text{ctg}\frac{ \alpha }{2}{ = \:} \frac{ 1}{{{ - }\sqrt{ \frac{1}{7}}}} {=}{ - \sqrt{ {7 }} }$

Соберем воедино и получим

Ответ:

$\small \sin \large\tfrac{\alpha}{2} = \small\sqrt{ \frac{1}{8} \: } \\ \small\cos \large\tfrac{\alpha}{2} = - \small\sqrt{ \frac{7}{8} \: } \\\small \text{tg}\frac{ \alpha }{2} = - \sqrt{ \frac{1}{7} } \\ \small\text{ctg}\frac{ \alpha }{2}{ = \:} { - \sqrt{ {7 }} }$

б), в)

см. приложенные файлы