Question

помогите пожалуйста решить

2-6 sinx cosx =cos4x

Answer 1

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$

$\cos2\alpha =1 -2\sin^2\alpha$

Преобразуем уравнение:

$2-6\sin x\cos x =\cos4x$

$2-3\cdot2\sin x\cos x =1-2\sin^22x$

$2-3\sin 2x -1+2\sin^22x=0$

$2\sin^22x-3\sin 2x+1=0$

Решаем квадратное уравнение относительно синуса. Так как сумма коэффициентов равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй корень равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

$\sin2x=1\Rightarrow 2x=\dfrac{\pi }{2} +2\pi n\Rightarrow\boxed{x=\dfrac{\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\sin2x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x=(-1)^k\arcsin\dfrac{1}{2}+\pi k\Rightarrow$

$\Rightarrow 2x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k\Rightarrow\boxed{x=(-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{4} +\pi n;\ (-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2} ,\ n,k\in\mathbb{Z}$