Question

Помогите пожалуйста решить

2-6 sinx cosx =cos4x

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = {( - 1)}^{n} \times \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \: n}{2} \\ x_{2} = \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n€Z

Объяснение:

2-6sinx cosx=cos4x

1). 6 sinx cosx =3×(2sinx cosx)=3 sin 2x

2).

$cos4x = cos(2 \times (2x)) = 1 - 2 {sin}^{2} 2x$

3).

$2 - 3sin2x = 1 - 2 {sin}^{2} 2x \\ 2 {sin}^{2} 2x - 3sin2x + 1 = 0$

- тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной

$sin2x = t \\ - 1 \leqslant t \leqslant 1 \\ 2 {t}^{2} - 3t + 1 = 0 \\ t_{1} = \frac{1}{2} \\ t_{2} = 1$

обратная замена:

$t_{1} = \frac{1}{2} \\ sin2x = \frac{1}{2}$

- простейшее тригонометрическое уравнение

$2x = {( - 1)}^{n}\times arcsin \frac{1}{2} + \pi \: n \\ 2x = {( - 1)}^{n} \times \frac{\pi}{6} + \pi \: n \: | \div 2 \\ x = {( - 1)}^{n} \times \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \: n}{2}$

n € Z (знак € читать " принадлежит")

$t_{2} = 1 \\ sin2x = 1$

простейшее тригонометрическое уравнение, частный случай

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n \: | \div 2 \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n€Z