Question

Найти интеграл. Помогите пожалуйста.В 3) 1 раз sin и cos там ошибка

Answer 1

Ответ:

Вычислили интегралы:

1) $\displaystyle \int\limits {(3x^3-2x+1)} \, dx=\frac{3}{4}x^4-x^2+x+C$

2) $\displaystyle \int\limits {(x-3x^2+\frac{5}{x}) } \, dx=\frac{x^2}{2}-x^3-5ln\;|x|+C$

3) $\displaystyle \int\limits {2\;sin\frac{x}{2}\;cos\; \frac{x}{2} } \, dx=2sin^2\;\frac{x}{2}+C$

Объяснение:

Требуется вычислить интегралы.

$\displaystyle 1)\;\;\; \int\limits {(3x^3-2x+1)} \, dx$

• Интеграл суммы равен сумме интегралов.

Используем формулу:

$\displaystyle \boxed { \int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C }\;\;\;\;\;\boxed {\int\limits {} \, dx =x+C}$

$\displaystyle \int\limits {(3x^3-2x+1)} \, dx=\int\limits {3x^3} \, dx -\int\limits {2x} \, dx +\int\limits {1} \, dx =\\\\=3\cdot\frac{x^4}{4}- 2\cdot\frac{x^2}{2}+x=\frac{3}{4}x^4-x^2+x+C$

$\displaystyle 2)\;\;\;\int\limits {(x-3x^2+\frac{5}{x}) } \, dx$

Добавим еще одну формулу:

$\displaystyle \boxed {\int\limits {\frac{dx}{x} } =ln\;|x|+C }$

$\displaystyle \int\limits {(x-3x^2+\frac{5}{x}) } \, dx=\int\limits {x} \, dx -\int\limits {3x^2} \, dx +\int\limits {\frac{5}{x} } \, dx =\\\\=\frac{x^2}{2}-3\cdot\frac{x^3}{3}-5ln\;|x|=\frac{x^2}{2}-x^3-5ln\;|x|+C$

$\displaystyle 3)\;\;\;\int\limits {2\;sin\frac{x}{2}\;cos\; \frac{x}{2} } \, dx$

Данный интеграл можно вычислить методом замены переменной.

$\displaystyle sin\;\frac{x}{2}=t\\ \\\frac{1}{2}cos\;\frac{x}{2}dx = dt\\ \\ cos\;\frac{x}{2}=2dt$

Получим:

$\displaystyle \int\limits {4t} \, dt =4\cdot\frac{t^2}{2}=2t^2+C$

Выполним обратную замену:

$\displaystyle \int\limits {2\;sin\frac{x}{2}\;cos\; \frac{x}{2} } \, dx=2sin^2\;\frac{x}{2}+C$