Question

Докажи, что следующая последовательность dn=11n/n+1 возрастает:
Запиши, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования:
Заданная последовательность возрастает, так как (выбери знак):
dn (<, >, =) dn+1

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:
d(n)=11n/(n+1)=(11n+11-11)/(n+1)=11-11/(n+1)
d(n+1)=11-11/(n+2)

d(n)-d(n+1)=11-11/(n+1)-11+11/(n+2)=11(-n-2+n+1)/(n+1)(n+2)=-11/(n+1)(n+2)<0 -> d(n)<d(n+1)

Answer 2

Ответ:

$d_{n}=\dfrac{11n}{n+1}\ \ \Rightarrow \ \ d_{n}=11\cdot \dfrac{n}{n+1}=11\cdot \dfrac{(n+1)-1}{n+1}=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+1}\Big)\\\\\\d_{n+1}=\dfrac{11(n+1)}{(n+1)+1}=11\cdot \dfrac{n+1}{n+2}=11\cdot \dfrac{n+1+1-1}{n+2}=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+2}\Big)\\\\\\\\d_{n+1}-d_{n}=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+2}\Big)-11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+1}\Big)=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+2}-1+\dfrac{1}{n+1}\Big)=\\\\\\=11\cdot \dfrac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}=11\cdot \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{11}{(n+1)(n+2)} > 0$

Разность между последующим и предыдущим членами последовательности положительна, так как  n - номер члена последовательности и  $n > 0\ \ (n=1,2,3,...)$  .  Значит

$d_{n+1}-d_{n} > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \underline {d_{n+1} > d_{n}}\ \ \Rightarrow$   заданная последовательность возрастает .